В формуле , где x и y - действительные числа, примем х = 0. Получим формулу
,
которая называется формулой Эйлера.
Используя формулу Эйлера можно любое комплексное число z записать в показательной форме
,
где r – модуль комплексного числа, а j - его аргумент.
Если в этой формуле Эйлера заменить y на - y, тогда получим .
Решим систему
относительно cos y, sin y. Сложим и вычтем уравнения, получим
.
Отсюда следуют формулы
.
7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение неоднородного уравнения, как было показано ранее (теорема 7.4 ), находится как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е.
,
где - линейно независимые решения однородного уравнения;
- произвольные постоянные;
- частное решение исходного неоднородного уравнения.
В общем случае линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид
,
где - постоянные величины.
Частные решения однородного уравнения ищут в виде
.
Производные этой функции равны
.
Подставляем функцию и ее производные в однородное уравнение
.
Делим это уравнение на , получаем уравнение
.
Данное уравнение называется характеристическим.
Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n -ой степени относительно l. Любое алгебраическое уравнение n -ой степени имеет в комплексной плоскости n корней.
Рассмотрим все возможные случаи решения однородного дифференциального уравнения в зависимости от вида корней его характеристического уравнения.
Случай 1. Все корни характеристического уравнения вещественные различные.
В этом случае дифференциальное уравнение имеет n линейно независимых частных решений
.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
или
,
где - произвольные постоянные.
Пример 7. 22. Найти общее решение уравнения .
Составляем характеристическое уравнение
.
Находим его корни . Имеем два частных решения , . Записываем общее решение
.
Случай 2. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней , где .
Тогда этим корням соответствует два линейно независимых комплексно-сопряженных решения
,
.
Из этих решений составляют два линейно независимых действительных решения
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
или .
Пример 7. 23. Найти общее решение уравнения .
Составляем характеристическое уравнение
.
Находим его корни , где . Уравнение имеет два частных линейно независимых решения
.
Записываем общее решение
или .
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет действительный корень l кратности k.
Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решения однородного уравнения, которые имеют вид
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
.
Пример 7. 24. Найти общее решение уравнения .
Составляем характеристическое уравнение
.
Оно имеет действительный корень кратности k = 2. Ему соответствует два линейно независимых частные решения .
Общее решение .
Случай 4. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней кратности k.
Тогда этим корням соответствует 2 k линейно независимых частных решений однородного уравнения, которые имеют вид
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
или
Пример 7. 25. Найти общее решение уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
Û Þ Þ
Þ .
Уравнение имеет два корня кратности k = 2.
Общее решение уравнения имеет вид
.
7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами
Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения
зависит от вида правой части этого уравнения (функции ) и от величин корней характеристического уравнения.
Рассмотрим нахождение частного решения для двух видов функции .
Случай 1. Правая часть уравнения
,
где g - вещественное значение, - многочлен m -й степени.
В этом случае частное решение уравнения ищется в виде
где - многочлен m -й степени,
s - степень кратности корня характеристического уравнения .
Если не является корнем характеристического уравнения, то s = 0.
Пример 7. 25. Решить уравнение .
Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет один корень кратности 2. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Находим частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения , т. е. . Данное значение не является корнем характеристического уравнения (следовательно, его кратность s = 0). В этом случае частное решение ищется в виде . Находим производные и подставляем их в исходное уравнение
.
Делим это уравнение на , имеем . Отсюда .
Записываем частное решение и общее решение
.
Пример 7. 26. Решить уравнение .
Общее решение неоднородного уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения .
Найдем общее решение однородного уравнения . Его характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение .
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правую часть этого уравнения можно представить в виде
,
где показатель степени g в функции равен g = 0. Это значение совпадает с корнем характеристического уравнения , т. е. является его корнем кратности s = 1. Поэтому частное решение нужно искать в виде
.
Находим производные этой функции и подставляем их в исходное уравнение. Получаем
Û .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х (и ) в левой и правой частях уравнения
Получаем систему для нахождения коэффициентов A и B
Отсюда , . Записываем частное решение
.
Общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Случай 2. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
,
где g и w - вещественные значения,
и - многочлены степени и соответственно.
В этом случае частное решение дифференциального уравнения ищется в виде
,
- многочлены степени ,
s - кратность корня характеристического уравнения , где совпадает с числом g в показателе степени в функции правой части уравнения. Если g в не совпадает с , то s = 0.
Пример 7. 27. Решить уравнение .
Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Ищем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения , т. е. g = 0. Значение g = 0 не совпадает с реальной частью корней характеристического уравнения , поэтому s = 0. Частное решение необходимо искать в виде
,
где А и В - постоянные величины.
Находим производные , подставляем их в исходное неоднородное уравнение
Û
.
Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x в левой и правой частях этого уравнения. Получаем систему для нахождения постоянных А и В и решаем ее.
Û Û Þ, .
Записываем частное решение
и общее решение
.