2014-02-02
1579
1. Биномиальное распределение.
Для дискретной случайной величины Х, представляющей собой число появлений события А в серии из п независимых испытаний (см. лекцию 6), М (Х) можно найти, используя свойство 4 математического ожидания. Пусть Х 1 – число появлений А в первом испытании, Х 2 – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Хi задается рядом распределения вида
| Xi | ||
| pi | q | p |
Следовательно, М (Хi) = p. Тогда 
Аналогичным образом вычислим дисперсию: D (Xi) = 0²· q + 1²· p – p ² = p – p ² = p (1 – p), откуда по свойству 4 дисперсии 
2. Закон Пуассона.
Если р (Х = т) = 
, то М (Х) = 
(использо-валось разложение в ряд Тейлора функции ех).
Для определения дисперсии найдем вначале М (Х 2) = 
= 
Поэтому D (X) = a ² + a – a ² = a.
Замечание. Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру а, определяющему распределение).
3. Равномерное распределение.
Для равномерно распределенной на отрезке [ a, b ] непрерывной случайной величины 
то есть математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка [ a, b ].
|
|
|
Дисперсия 
.
4. Нормальное распределение.
Для вычисления математического ожидания нормально распределенной случайной величины воспользуемся тем, что интеграл Пуассона 
.
(первое слагаемое равно 0, так как подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля).
.
Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответствен-но математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению иссле-дуемой случайной величины.
