Возьмем некоторое поперечное сечение бруса (рис. 4.2)
Рис. 4.2
Свяжем его с системой координат и рассмотрим два следующих интеграла
(4.1)
Индекс у интеграла означает, что интегрирование ведется по всей площади сечения.
Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси , а второй статическим моментом относительно оси . Размерность — .
При параллельном переносе осей величины статических моментов меняются. Рассмотрим две пары параллельных осей и (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Пусть расстояние между осями и равно , а между и равно . Дано: . Требуется определить .
Очевидно, что
Искомые статические моменты равны
Или .
Рассмотрим подробнее, например, первое из полученных выражений
Величина может быть как положительной, так и отрицательной. Всегда можно подобрать так, причем единственным образом, чтобы,
, тогда . Ось, относительно которой статический момент равен “0”, называется центральной.
Расстояние до центральной оси от некоторой произвольной равно
|
|
, (4.2)
аналогично
. (4.3)
Таким образом, с помощью формул (4.2), (4.3) можно найти центр тяжести любой фигуры.