2014-02-02
403
Теорема 7. 
т.т.т., к. 
, иными словами всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится в поле действительных чисел.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть . Возьмем 
такое, что 
, где 
(в силу фундаментальности последовательности 
). Тогда 
. Согласно леммам 1, 2, имеем, что 
, следовательно, 
. Таким образом, .
Достаточность.
Пусть . Покажем, что - ф.п.р.ч.
. Поскольку между действительными числами 
и 
найдется положительной рациональное число 
. Тогда 
. Оценим 
, где 
:
. Таким образом, последовательность рациональных чисел фундаментальна, а, значит, порождает некоторый класс эквивалентности 
. Остается доказать, что 
. Возможны случаи:
1. 
.
Последнее противоречит условию , следовательно, данный случай невозможен.
2. 
.
Последнее противоречит условию , следовательно, данный случай невозможен.
3. . Единственно возможный случай.
что и требовалось доказать.
Следствие. Для того, чтобы последовательность рациональных чисел имела в поле действительных чисел предел необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
|
|
|
