Парабола

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь изменяется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:

т.е. b + 2 × c × x = 0 и x = – b /2 c.

Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.

При b₂ < 0 кривая симметрична относительно высшей точки, т. е. точки перелома кривой, изменяющей направление связи, а именно рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста – с увеличением возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дальнейшее повышение возраста может приводить к снижению заработной платы работника. Если параболическая форма связи демонстрирует сначала рост, а затем снижение уровня значений результативного признака, то определяется значение фактора, при котором достигается максимум. Например, если потребление товара А в зависимости от уровня дохода семьи (тыс. руб.) характеризуется уравнением вида , томожно найти величину дохода, при которой потребление максимально, т. е. при х = 3 тыс. руб.

При b₂ > 0 парабола второго порядка симметрична относительно своего минимума, что позволяет определять минимум функции в точке, меняющей направление связи, т. е. снижение на рост. Так, если в зависимости от объема выпуска продукции затраты на производство характеризуются уравнением , то наименьшие затраты достигаются при выпуске продукции х = 15 ед., т. е. – 60 + 2 × 2 × х = 0.

Ввиду симметричности кривой параболу второй степени далеко не всегда можно использовать в конкретных исследованиях. Чаще исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы, а не с полной параболической формой. Кроме того, параметры параболической связи не всегда могут быть логически истолкованы. Поэтому если график зависимости не демонстрирует четко выраженной параболы второго порядка (нет смены направленности связи признаков), то она может быть заменена другой нелинейной функцией, например степенной.

В литературе часто рассматривается парабола второй степени для характеристики зависимости урожайности от количества внесенных удобрений. Данная форма связи мотивируется тем, что с увеличением количества внесенных удобрений урожайность растет лишь до достижения оптимальной дозы вносимых удобрений. Дальнейший же рост их дозы оказывается вредным для растения, и урожайность снижается. Несмотря на справедливость данного утверждения, следует отметить, что внесение в почву минеральных удобрений проводится на основе достижений агробиологической науки. Поэтому на практике часто эта зависимость представлена только сегментом параболы, что и позволяет использовать другие нелинейные функции. В качестве примера рассмотрим табл.2.5.

Таблица 2.5. Зависимость урожайности озимой пшеницы от количества внесенных удобрений

Внесено удобрений, ц/га, x	Урожайность, ц/га, y	x 2	x 3	x 4	y×x	y×x 2
							6,2
							8,5
							10,4
							11,9
							13,0
S = 15

По данным табл. 2.5 система нормальных уравнений составит:

.

Решив эту систему методом определителей, получим:

D = 700, Da = 2380, Db = 2090, Dc = – 150.

Откуда параметры искомого уравнения составят: a = 3,4; b = 2,986; c = –0,214, а уравнение параболы примет вид:

y_p= 3,4 + 2,986 × x – 0,214 × x ².

Как видно из табл.2.5, уравнение параболы второго порядка хорошо описывает рассматриваемую зависимость. Сумма квадратов отклонений остаточных величин S (y –y_p)² = 0,457. Ввиду того, что данные табл.2.4 демонстрируют лишь сегмент параболы второго порядка, рассматриваемая зависимость может быть охарактеризована и другой функцией.

В результате использования степенной функции y_p = а × х^b было получено уравнение регрессии y_p = 6,136 × х ^0,474. Для него S(y – y_p)² = 0,407, что означает еще лучшую сходимость фактических и расчетных значений у.