Любое ли математическое выражение можно назвать математической моделью? – Нет!

Согласно Вениковым [3] в качестве математической модели можно принимать такое математическое выражение, которое удовлетворяет следующим условиям:

1. За этим математическим выражением всегда стоит реальный объект, процесс, явление, т.е. воздействие координаты, переменные в этом выражении представляют собой конкретные физические величины, характеризующие состояние оригинала, например, если записано только это уравнение, то его считают обычным математическим выражением, ни какого отношения не имеющего к математическим моделям, но если после него записаны некоторые пояснения, например, у – изменение температуры в печи в диапазоне от 1000 до 1300˚С, V – изменение расхода топлива в диапазоне от 2000 до 2500 нм³ \ с, то это выражение отражает причинно следственную связь изменения расхода топлива на изменение температуры в печи и соответственно является математической моделью конкретной нагревательной печи..

2. Между этим выражением и реальным объектом установлено соответствие. Например, показано, что математическая модель с заданной точностью отражает учитываемые свойства оригинала.

3. С помощью этого выражения легче оперировать и исследовать свойства реального объекта.

Адекватной моделью называют такую модель, которая с заданной точностью описывает свойства и условия функционирования оригинала.

Понятие точности связано с ошибкой модели. Чем выше точность, тем меньше ошибка модели.

Для оценивания точности используют специальные показатели, называемые критериями точности (Q, q). Например, одним из наиболее часто используемых критериев точности является среднеквадратический кретерий, который можно записать следующим образом:

– среднеквадратичная ошибка –

критерий точности;

где М – символ математического ожидания;

– расчетное по модели значение выходной переменной;

– экспериментальное значение выходной переменной.

Для расчетов используют выражение, заменяя математическое ожидание оператором арифметического среднего:

– экспериментальное;

– расчетное;

;

Будем различать детерминированные модели и модели с учетом неразделенности. Под детерминированной величиной в инженерном смысле понимают такую величину, значение которой можно абсолютно точно прогнозировать, т.е. определять в будущем при изменении условий или времени. С математической точки зрения детерминированные функции, это такие функции, для которых справедливо взаимно однозначное соответствие между функцией и аргументом.

у =А sin ωt (1 )

Это детерминированная функция, в ней существует взаимно однозначное соответствие между y и t. Если в выражение (1) ввести элемент неопределенности ε, т.е.:

y = A sin ωt + ε; (2)

где ε Є [ ε_min, ε_max];,

то выражение (2) уже не является детерминированной, так как ε является случайной величиной изменяющейся в диапазоне ε_min и ε_max.

Т.е., относительно ε известно, что оно распределено в интервале [ε_min и ε_max] случайным образом. Может быть задан закон распределения вероятностей случайной величины. Такая функция имеет следующий вид (рис. 1)

у = Аsinwt

у = А sinwt+e

t

Рис. 1

Наличие ε приводит к тому, что мы не можем в заданный момент времени t* абсолютно точно определить величину у. Таким образом, ε вносит неопределенность в расчете у(t). И модель (2), если она описывает какой-то объект, мы будем называть моделью с учетом неопределенности.

Например, величина ε содержит в себе ошибку измерений. На практике она всегда имеет место, как во входных так и в выходных переменных. Основной физический смысл ε – то, что она отражает влияние и на зависимую переменную y других, не учитываемых моделью факторов.

Для наглядности при отображении структуры объекта и его модели могут быть использованы элементы структурных схем. В частности для детерминированной зависимости двух входных переменных V₁, V₂ и одной выходной переменной y можно представить детерминированную модель в следующем виде:

Структура моделей объекта

u1

un

мат. модель

у

Рис. 2

В дальнейшем для наглядности будем использовать блок-схемы. При этом любой элемент модели или системы на этих схемах будем обозначать □, внутри которого записываются его обозначения или пояснения, связи этого элемента с другими элементами, а так же с окружающей средой обозначаются стрелками, направление которых указывает направление воздействия. Например объект можно представить следующим образом:

V_н

Объект исследования

V_k Y

Рис. 3 Блок-схема модели объекта

где V – входные воздействия;

Y – выходные воздействия;

к – контролируемые, т.е. те, которые можно измерить и учитывать при построении модели;

н – неконтролируемые, т.е. те, которые либо не известны исследователю, либо они его не интересуют, и не используются при построении модели.

у = ƒ (υ₁,…, υ_n) (3)

где у – выходная (расчетная) переменная;

υ = {υ₁,…, υ_n} – вектор входных переменных; n – число этих переменных.

Здесь под вектором понимается совокупность символов, переменных, любых объектов, имеющих одно или несколько общих свойств.

y₁ и υ_n – переменные, которые учитываются данной моделью (3)для расчета у.

Иногда или часто зависимость (3) может быть записана в следующем виде

у = ƒ (υ, А), (4)

где А = {а₁,…, а_m} – вектор параметров (коэффициентов) модели; m≥n – число параметров.

У = а₀ + а₁υ₁ + а₂υ₂ + … + а_nυ_n; m = n + 1.

Причиной неопределенности на выходе модели может являться так же то, что, согласно определению, модель отражает лишь основные, необходимые для решения конкретной задачи свойства и условия функционирования оригинала. А это означает, что в каждый конкретный момент вектор входных переменных υ = {υ₁, …, υ_n} отражает не все факторы, влияющие на у, а лишь те, которые интересуют исследователя. Отсюда следует, что имеются другие факторы, влияющие на у, которые не учитываются этой моделью; естественно, что эти факторы будут влиять на у и изменять его. И поскольку эти факторы не учитываются моделью, то они будут искажать расчет и вносить вклад в ε.

Поэтому в случае модели с неопределенностью ее можно представить другой схемой (рис. 4)

мат. модель

u{uд, du}

уu

dун

у

+

+

Рис. 4

Если объект исследования модельный.

V_н

Натурный объект исследования

V_k Y

Рис. 5. Блок схема натурного объекта

Далее будем обозначать входные воздействия натурных объектов и их моделей буквами V, V, а выходные – Y, y, при этом будем считать, что V и Y можно представить в виде следующей аддитивной композиции:

V=V₀+V;

Y=Y₀+y,

Воздействия V и Y могут зависеть или не зависеть от времени, если зависят, то:

V(t)=V₀(t)+V(t),

Y(t)=Y₀(t)+y(t),

V(i)=V₀(i)+V(i),

Y(i)=Y₀(i)+y(i),

где t – непрерывное время;

i – дискретное время;

у – результаты расчета по модели, обусловленные учетом u;

dу_н – эффекты влияния неучитываемых моделью факторов на y;

u_д – действительное значение; δ - ошибки измерения и реализации.

Будем предполагать, что в оригинале действуют причинно – следственные связи, в соответствии с которыми изменение входных переменных (причина) будет всегда приводить к изменению выходной переменной(следствие). Причинно следственные всегда однонаправленные, т.е. изменение причины обязательно влечет за собой изменение следствия, но не наоборот.

Также будем считать, что существует действительная структура и действительное значения коэффициентов относительно каждого из входных воздействий, которые характеризуют абсолютно точно влияние изменений u на изменение у; но мы их не знаем. Тогда при построении модели могут иметь место как структурные, так и параметрические ошибки. Первые из них связаны с тем, что структура этих связей определена приближенно (неточно); а вторая – связана с ошибкой нахождения коэффициентов. Структурные и параметрические ошибки так же вносят свой вклад в e. Таким образом будем считать, что неопределенность в моделе, вызвана следующими причинами:

1. Наличием факторов входных воздействий, которые влияют на выходную переменную у, но по каким то причинам не интересует исследователя и поэтому не включены в состав модели.

2. Ошибки, вызванные неточностью выбора структуры модели.

3. Ошибки оценивания коэффициента модели.

3. Моделирование.

Определения:

1. Моделирование – метод исследования, проводимый при помощи модели, т. е. некоторого вспомогательного, искусственного или естественного объекта (промежуточного), обладающего способностью в том или ином смысле заменять исследуемый объект [3].

2. Моделирование – исследование каких – либо явлений, процессов или систем путем построения и изучения их моделей [1].

3. Моделирование – метод исследования процессов или явлений путем построения их моделей и исследования этих моделей [2].

4. Моделирование – процесс построения и исследования объектов на модели.

Анализируя эти определения, нужно отметить следующее:

1. Правильнее понимать под моделированием процесс построения и использования моделей для решения конкретных инженерных задач. При этом если под моделированием понимается только использование моделей, можно применять термин «имитационное моделирование»(воспроизведение).

2. Первое и третье определения поясняют моделирование как метод исследования. В этом случае целесообразно добавлять перед словом «моделирование» слово «метод», а само моделирование подразумевать как процесс.

4. Виды моделирования.

1. Натурное моделирование – специально поставленный эксперимент на натуре (в природе, на производстве) при специально подобранных или созданных условиях, отвечающих критериям подобия, но без искусственных изменений параметров натурного объекта (без создания специальных установок и т. д.) [3].

2. Физическое моделирование – исследование объектов, (систем) на физических моделях, при котором изучаемый процесс (явление) воспроизводится с сохранением его физической природы или используется другое аналогичное физическое явление [2].

3. Математическое моделирование – исследование процессов или явлений путем построения и использования их математических моделей.

4. Комбинированное моделирование – исследование объектов и систем путем построения и использования комбинированных моделей, представляющих собой определенную комбинацию натурной и (или) математической и (или) физической модели.