Линейные системы алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Элементарные преобразования и приведение матриц к ступенчатому виду

Элементарные преобразования и приведение матриц к ступенчатому виду

К элементарным преобразованиям строк матрицы относятся следующие преобразования:

1) перемена строк местами; 2) умножение элементов любой строки на не равное нулю число; 3) прибавление к любой строке матрицы линейной комбинации других ее строк.

Аналогичные преобразования над столбцами называются элементарными преобразованиями столбцов матрицы.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1. Элементарные преобразования строк (или столбцов) матрицы не изменяют её ранга. Элементарными преобразованиями строк всегда можно привести матрицу к ступенчатому виду (а дополнительными элементарными преобразованиями ее столбцов можно привести матрицу к трапециевидной форме).

Например,

Здесь мы проделали следующие операции:

1) К второй строке матрицы прибавили первую строку, умноженную на (-2); от третьей строки исходной матрицы отняли её вторую строку; в итоге получили матрицу

2) К третьей строке матрицы прибавили ее вторую строку; получили матрицу ступенчатого вида (трапециевидной формы).

Системой уравнений с неизвестными называется система вида

где неизвестные, известные числа (коэффициенты системы), Вводя обозначения

можно записать систему (1) в краткой форме Её называют матричной формой записи системы (1). При этом столбец называют столбцом неизвестных, матрицу матрицей системы (1), а столбец столбцом свободных членов (или правых частей) системы (1). Если столбец свободных членов то система (1) называется однородной системой; если то (1) называется неоднородной системой.

Определение 1. Решением системы (1) называется совокупность неизвестных которая, будучи подставленная в уравнения (1), обращает их в верные числовые равенства (другое определение: решением системы (1) называется вектор-столбец обращающий систему в истинное векторное равенство). При этом если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной (или разрешимой). Если (1) не имеет решений, то она называется несовместной (или неразрешимой). Система, имеющая только одно решение, называется определённой системой. Система, имеющая более одного решений, называется неопределённой системой.

Рассмотрим систему (1) в матричной форме Как уже говорилось выше, называется матрицей коэффициентов или просто матрицей системы (1). Если к этой матрице присовокупить справа столбец свободных членов, то получим матрицу называемую расширенной матрицей системы уравнений (1). Эта матрица играет важную роль в теории линейных систем уравнений. Например, по ней можно судить, будет ли система (1) разрешимой или нет. Имеет место следующее утверждение.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместной необходимо и достаточно, чтобы

Следствие 1. Однородная система всегда совместна (это утверждение вытекает также из того, что однородная система имеет тривиальное решение).