Перемещения в балках при чистом изгибе

Лекция 7

Вопросы лекции:

1. Линейные и угловые перемещения в балках.

2. Определение перемещений путем интегрирования уравнения изогнутой оси балки.

3. Метод начальных параметров.

7.1 Линейные и угловые перемещения в балках при прямом изгибе

В предыдущей лекции были рассмотрены вопросы, относящиеся к расчету балок на прочность. Однако в больший случаев практического расчета деталей, работающих на изгиб необходимо также производить расчет их на жесткость.

Под расчетом на жесткость понимается оценка упругой податливости балки под действием нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать допускаемых величин. Для выполнения таких расчетов необходимо научиться вычислять перемещения попереч- ных сечений балки под действием любой внешней нагрузки. Кроме того, перемещения приходится определять и при расчете статически неопределимых конструкций (балок, рам, арок и т.д.).

В основе теории деформации при изгибе лежат:

1. Гипотеза плоских сечений.

2. Учитываются деформации только от изгибающего момента, деформациями от поперечной силы пренебрегают как малыми.

С учетом принятых допущений рассмотрим деформацию балки при прямом изгибе. Под действием внешних нагрузок, расположенных в одной из главных плоскостей балки, наблюда­ется искривление ее оси в той же плоскости, происходит так на­зываемый прямой изгиб. Поперечные сечения при этом повора­чиваются и одновременно получают поступательные перемеще­ния (рис. 7.1).

z

x

Рис. 7.1

Искривленная ось балки называется упругой линией.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к недеформированной оси балки, называет­ся прогибом балки в данном сечении и обозначается z.

Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями коор­динаты x и их опре­деление необходимо для расчета жест­кости. Рассмотрим изгиб стержня в од­ной из главных пло­скостей например, в плоскости xz. Как показывает практи­ка, в составе реаль­ных сооружений стержни испытыва­ют весьма малые искривления (z _max/ l = 10^-2 …10^-3, где z _max - мак­симальный прогиб; l - пролет балки).

7.2 Определение перемещений путем интегрирования уравнения

изогнутой оси балки

В этом случае неизвестными функциями, определяющими по­ложение точек поперечных сечений балки, являются z (x) и j (x) = a (x) (рис. 7.1). Совокупность значений этих параметров по дли­не балки образуют две функции от координаты х - функцию пере­мещений z(х) и функцию углов поворота j (х). Из геометрических построений (рис. 7.1) наглядно видно, что угол наклона каса­тельной к оси х и угол поворота поперечных сечений при произвольном х равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать

. (7.1)

Из курса математического анализа известно, что кривизна пло­ской кривой z(х) выражается следующей формулой:

.

Однако, в связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

. (7.2)

Учитывая выражение, полученное в предыдущей лекции,

из (7.2) получим следующее важное диф­ференциальное соотношение

, (7.3)

где I_у - момент инерции поперечного сечения балки, относительно ее нейт-

ральной оси;

Е - модуль упругости материала;

E I_у - изгиб­ная жесткость балки.

Уравнение (7.3), строго говоря, справедливо для случая чис­того изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_у (х) имеет по­стоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равно­сильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота попе­речного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно по­логой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точ­ности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значе­ния в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов z(х) и углов поворота j (х), необходимо решить уравнение (7.3), с уче­том граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (7.3), записанное для каждого участка, после интегрирования, со­держит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.

Если балка имеет n - конечное число участков, из 2 n числа граничных условий получим 2 n алгебраических уравнений относительно 2 n постоянных ин­тегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M_у (х) и E I_у (х), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования урав­нения (7.3) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

,

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

.

Здесь C ₁ и С ₂ произвольные постоянные интегрирования долж­ны быть определены из граничных условий.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно при­менить метод начальных параметров.

7. 3 Метод начальных параметров

Метод начальных параметров получил широкое примене­ние при решении различных инженерных задач. Его разработа­ли советские ученые Н.П. Пузыревский, Н.К. Снитко, Н.И. Бе­зухое, А.А. Уманский и др.

Для того чтобы сократить число неизвестных произволь­ных постоянных интегрирования до двух, необходимо обеспе­чить равенство соответствующих постоянных на всех участках балки. Это равенство будет соблюдаться, если в уравнениях мо­ментов, углов поворота и прогибов при переходе от участка к участку повторяются все силовые факторы предыдущего участ­ка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на ле­вых границах своих силовых участков. Для обеспечения этих условий при составлении дифференциальных уравнений упру­гой линии и их интегрировании должны соблюдаться следую­щие условия:

1. Начало координат (общее для всех си­ловых участков) выбирается на конце балки:

- если есть заделка, то в заделке,

- если на конце есть опора, то на опоре,

- если на обоих концах консоли, то безразлично, на каком конце начало координат.

2. При составлении уравнения для конкретного сечения учитываются нагрузки, расположенные от начала координат до сечения; распределенная нагрузка q продолжается до сечения в соответствии с правилами Клебша. При наличии сосредоточенного момента М его значение представлять в виде произведения М(z - l)⁰, где l – расстояние от начала координат до сечения, в котором этот момент прило­жен.

3. При действии распределенной нагрузки, не доходящей до правого конца рассматриваемого участка, она продолжается до этого конца и одновременно уравновешивается противоположно на­правленной нагрузкой той же интенсивности («дополнитель­ная» и «уравновешивающая» нагрузки показываются на рисунках штриховыми линиями).

4. Интегрировать уравнение на всех участках, не раскрывая скобок.

Рассмотрим балку (рис. 7.2) с постоянным поперечным сече­нием, нагруженную вза­имоуравновешенной си­стемой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикаль­ные перемещения сече­ний балки в положи­тельном направлении оси z). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось x проходила вдоль оси балки, а ось z была бы направлена вверх.

На балку действуют: момент М, сосре­доточенная сила F и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 7.2).

z

F

x

l

Рис. 7.2

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вноси­мые в уравнение упругой линии, различными типами внешних си­ловых факторов. Для этого составим выражение изгибающих мо­ментов для каждого из пяти участков заданной системы.

x

Участок I (0£ x £ l ₁ ) M_{y ( x )} = 0.

Участок II (l ₁ £ x £ l ₂ ) M_{y ( x )} = M.

Участок III (l ₂ £ x £ l ₃ ) M_{y ( x )} = M + F (x - l ₂).

Участок IV (l ₃£ x £ l ₄) M_{y (z)} = M + F (x - l ₂) +.

Участок V (l ₄ £ х £ l ₅) M_{у (х)} = M + F (х - l ₂) +.

На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего мо­мента введем следующий оператор, означающий, что члены выражения, стоящие перед ним следует учитывать при х > l_i и иг­норировать при х £ l_i. На основании этого, обобщенное выражение момента M_у (х) для произвольного сечения х может быть записано единой формулой:

M_у (х) = M + F (х - l ₂) +. (7.4)

Подставляя (7.4) в (7.3) и дважды интегрируя, получим выра­жение для прогибов:

E I_у z (x) = C ₀ + C ₁ x + + + -

-. (7.5)

Постоянные интегрирования C ₀ и C ₁ по своей сути означают:

C ₀ = E I_y z (0), C ₁ = (7.6)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий оконча­тельный вид:

E I_y z (x) = E I_yz ₀ + x + + +

+ -. (7.7)

Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

E I_y j (x) = + + + -

-. (7.8)

Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба z ₀ , угла поворота j₀ в начале системы коорди­нат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому дан­ный метод и называется методом начальных параметров.

7.4 Пример расчета

Для стальной балки, изображенной на рис. 7.3, определить методом начальных параметров углы поворота се­чения и прогиб в точке D. Модуль упругости Е = 2×10⁸ кН/м². По­перечное сечение балки - квадратное со стороной a = 0,2 м.

Рис. 7.3

Решение

1. Определение опорных реакций балки (рис. 7.3).

S M ₀ =0, R_B (b + c + e) - q ×(c + e)×[ b + 0,5×(c + e)] + M + P b = 0,

кН;

S M_B =0, R ₀ (b + c + e) - 0,5× q ×(c + e)² - M + P ×(c + e) = 0,

кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнение равновесия сил по оси z:

S z =0; R ₀ + R_B + F - q (c + e) = 7,86 + 14,14 + 8 - 10×3 = 30 - 30 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров.

Исполь­зуя метод начальных параметров, для рассматриваемой балки запи­шем:

Из условий закрепления балки при x = 0 имеем: z ₀ = 0; М ₀=0.

Подставляя числовые значения, получим:

.

В данном выражении неизвестно j₀. Из условия закрепления балки при x = b + c + e имеем, что z = 0. Вычисляя прогиб на правом конце балки и приравнивая его к нулю, получим уравнение для определения j₀:

.

Отсюда E I j₀ = -20,84 кН×м². Теперь выражение для определе­ния прогибов будет иметь вид:

.

Соответственно, выражение для определения углов поворота будет:

.

С помощью этих выражений определяем z_D и j _D:

кH×м³.

кН×м².

Вычисляем жесткость сечения (Е = 2×10⁸ кН/м²):

кН×м².

Тогда, окончательно,

м.

рад.

Перемещение точки D происходит вниз, а сечение поворачива­ется по часовой стрелке.