Теорема 19. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Доказательство. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Тогда существует предел
где при . Отсюда
Доказательство.
Доказательство.
Доказательство.
.
Доказательство. Пусть , тогда
Показательные функции.
1) .
Логарифмические функции.
Тригонометрические функции.
Дифференциал и его геометрический смысл.
Основные понятия.
Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную
где , при , отсюда и . Величинуназывают главной частью приращения функции .
Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения в этой точке. Обозначается или ,
то и
Пример 46. Найти дифференциалы функций и .
Решение. Для первой функции
Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке при приращении аргумента . В этом заключается геометрический смысл дифференциала.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Пусть дана функция . Тогда , и
Пример 47. Вычислить приближенное значение .
Решение. Рассмотрим функцию . Пусть Так как
то