Уравнение Пелля

Диофантово уравнение, где D – неквадратное целое число, известно как уравнение Пелля, потому что Эйлер ошибочно приписал его решение английскому математику семнадцатого века Пеллю (его следовало приписать Браункеру). Уравнения Пелля, вероятно, самое известное диофантово уравнение после уравнения Пифагора. Решение уравнения Пелля – главный шаг в решении общего квадратного диофантова уравнения в двух переменных, а также ключевой инструмент в доказательстве теоремы Матьясевича, о том, что алгоритма для решения всех диофантовых уравнений нет.

Простой случай уравнения Пелля

изучался пифагорейцами в связи с. Если х, у – большие решения этого уравнения, тогда, и, фактически, пифагорейцы нашли способ порождения все больших и больших решений посредством рекуррентных соотношений

Краткий расчет показывает, что

Поэтому, начиная с тривиального решения, мы получаем последовательно большие решения, … Пары известны как боковые и диагональные числа, потому что отношение

стремится к отношению стороны и диагонали в квадрате.

Но как, прежде всего, могли быть открыты эти рекуррентные соотношения? Ван дер Варден (1976) и Фаулер (1980,1982) предполагают, что ключ – это евклидов алгоритм, примененный к отрезкам прямой. При заданных любых двух длинах а и b, можно определить последовательность, многократным вычитанием меньшей длины из большей. Если a, b – целые кратные некоторой единицы, тогда процесс завершается, но если b/а – иррациональное число, он продолжается бесконечно. Мы вполне можем представить, что пифагорейцы, как правило, интересовались. Вот что происходит. Мы представляем a, b сторонами прямоугольника, и каждое вычитание меньшего числа из большего представлено отсечением квадрата на более короткой стороне. Мы замечаем, что прямоугольник, остающийся после шага 2, со сторонами, имеет ту же форму, что и исходный, хотя длинная сторона теперь вертикальна, а не горизонтальна. Отсюда следует, что аналогичные шаги будут повторяться бесконечно, что, между прочим, является еще одним доказательством того, что – иррационально.

В настоящий момент нас, однако, интересует соотношение между последовательными подобными прямоугольниками. Если мы допустим, что длинная и короткая стороны последовательных подобных прямоугольников и, то из рисунка мы можем сделать вывод, что рекуррентные соотношения для:

в точности соотношения пифагорейцев! Разница заключается в том, что наши не являются целыми, и они удовлетворяют, а не Тем не менее, чувствуешь, что рисунок дает самую естественную интерпретацию этих соотношений. Открытие, что те же самые соотношения порождают решения, возможно, возникло из желания, чтобы евклидов алгоритм завершался Если пифагорейцы начинали и применяли рекуррентные соотношения, то они могли найти, что удовлетворяет.