Кручение бруса многосвязного тонкостенного профиля
Поперечное сечение тонкостенных авиационных конструкций в ряде случаев, например, сечения крыла или фюзеляжа, имеют форму многосвязного сечения, т.е. сечение имеет не одну, а большое число полостей. В этом случае решение осложняется. Для определения напряжений и угла закручивания приходится решать систему линейных алгебраических уравнений; число уравнений равно числу внутренних полостей сечения. Рассмотрим кручение многосвязного профиля крыла, приведенного на рис. 3.49.
Рисунок 3.49
Схема расчета остается той же самой при любом числе внутренних полостей и форме сечения. На рисунке приведено сечение крыла, которое схематизировано тремя тонкостенными контурами. Введем обозначения:
F1, F2 , F3 – площади, ограниченные средними линиями контуров;
δ1, δ2, δ3 – толщины стенок контуров;
δ12, δ23- толщины стенок между контурами;
q1, q2, q3 – потоки касательных напряжений в контурах.
Поток касательных напряжений, возникающий внутри области, занятой сечением, можно представить, как сумму трех потоков, каждый из которых охватывает один из контуров. Поток в каждой из внутренних стенок представим как разность двух основных потоков, возникающих в этой стенке:
|
|
q12= q1 – q2,
q23= q2 – q3.
Для решения задачи воспользуемся зависимостями для определения относительного угла закручивания и касательных напряжений при кручении бруса тонкостенного сечения:
Mx= τ(s)´δ(s)´2Fк =q(s)´2Fк
После преобразований получим:
(1)
В силу совместности деформирования относительные углы закручивания каждого из контуров θ1, θ2 θ3 равны между собой и равны относительному углу закручивания сечения в целом θ:
θ= θ1= θ2=θ3
Применим соотношение (1) для каждого из контуров:
Дополним систему трех уравнений уравнением:
Mx = M1x + M2x + M3x = 2q1F1 + 2q2F2 + 2q3F3, где:
M – полный скручивающий момент;
M1x, M2x, M3x – моменты, передаваемые каждым из контуров.
Полученную систему уравнений преобразуем к виду:
2GF1θ=(q1 SABC)/δ1 + ((q1-q2) SCA)/δ12
2GF2θ=((q1 - q2) SAC)/δ12 + (q2 SCD+EA)/δ24 + ((q2-q3) SDE)/δ23
2GF3θ = ((q2-q3) SED)/δ23 + (q3 SDHE)/δ34
Mx = 2q1 F1 + 2q2 F2 + 2q3 F3, где
SABC, SCA, SCD+EA, SDE, SDHE – длины средних линий соответствующих контуров.
Решение полученной системы четырех уравнений позволяет определить неизвестные потоки касательных напряжений q1, q2, q3 и относительный угол закручивания сечения θ.
Определение напряжений в брусе с прямоугольным поперечным сечением не возможно методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что при кручении такого бруса упрощающая гипотеза плоских сечений оказывается неприемлемой. Это подтверждается следующим экспериментом (рис. 3.50).
|
|
Рисунок 3.50
Если на поверхность бруса нанести мелкую прямоугольную сетку, то после закручивания бруса поперечные линии сетки заметно искривятся, следовательно, искривлены будут и поперечные сечения бруса. Таким образом, при распределении углов сдвига необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но также и местный перекос, связанный с искривлением сечений, который определяется уже функцией не одного переменного ρ как для сечений кольцевого сечения, а двух переменных х и у.
Распределение касательных напряжений по поперечному сечению полученное методами теории упругости приведено на рисунке (рис. 3.51).
Рисунок 3.51
Наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон:
Mx |
τB = η´τmax
Относительный угол закручивания бруса:
Геометрическая жесткость на кручение:
Коэффициенты α, β, η являются функцией отношения сторон a/b и определяются таблицей 3.1.
Таблица 3.1
a/b | 1,5 | 1,75 | 2,5 | ∞ | |||||||
α | 0,208 | 0,231 | 0,239 | 0,246 | 0,258 | 0,267 | 0,282 | 0,299 | 0,307 | 0,313 | 0,333 |
β | 0,141 | 0,196 | 0,214 | 0,229 | 0,249 | 0,263 | 0,281 | 0,299 | 0,307 | 0,313 | 0,333 |
η | 1,000 | 0,859 | 0,820 | 0,795 | 0,766 | 0,753 | 0,745 | 0,743 | 0,742 | 0,742 | 0,742 |