Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
Раздел 3. Потеря устойчивости за пределом упругости
Для вывода формулы Эйлера использовалось дифференциальное уравнение упругой линии стержня, которое справедливо только в случае, когда материал стержня подчиняется закону Гука. Отсюда следует, что формулой Эйлера можно пользоваться только тогда, когда критические сжимающие напряжения не превышают предела пропорциональности. Чтобы судить о пределах применимости формулы Эйлера, разделим обе части формулы на площадь поперечного сечения F. Слева мы получим критическое сжимающее напряжение:
sкр =.
Введем величину r =, имеющую размерность длины, которую называют радиусом инерции сечения. Также введем безразмерную величину λ, называемую гибкостью стержня:.
Формула Эйлера перепишется следующим образом:
sкр =.
Для длинных, тонких стержней l велико, следовательно, критическое напряжение мало. Предельным случаем для применения формулы будет тот, когда sкр равно пределу пропорциональности sпц, т.е.:
= sпц.
Предельное значение гибкости, при которой напряжения становятся равными пределу пропорциональности:
.
Предельное значение гибкости для некоторых материалов приведены в таблице 6.2.
Таблица 6.2
№ | Материал | lпред |
Сталь Ст.2 | ||
Сталь Ст.3 | ||
Стали Ст.4, Ст.20 | ||
Сталь Ст.45 | ||
Дуралюмин Д-16 |
При гибкости стержня, меньшей lпред, формула Эйлера неприменима, и задача об устойчивости стержня требует особого рассмотрения.
Рассмотрим устойчивость стержня произвольного сечения за пределом упругости (рис. 6.14а).
Рисунок 6.14
При достижении Pкр устанавливается новая форма равновесия стержня с искривленной осью. От действия осевой силы в стержне возникают сжимающие нормальные напряжения sкр, а от изгиба нормальные напряжения, которые вызывают нагрузку одной части сечения и разгрузку другой.
Для решения задачи принимают следующие допущения:
1) прогибы малы, поэтому применимо дифференциальное уравнение упругой линии для симметричного изгиба;
2) выполняется гипотеза плоских сечений, поэтому сохраняется такой же, как и для изгиба, зависимость между деформацией и кривизной упругой линии Δε = (1/ρ) t;
3) диаграмма деформирования соответствует диаграмме деформирования при растяжении-сжатии материала стержня;
4) форма упругой линии при потере устойчивости такая же, как и форма упругой линии при симметричном изгибе.
С вогнутой стороны сжимающие напряжения увеличатся (рис. 6.14г), и связь между изменением напряжения и деформации будет изображаться кривой нагрузки, т.е. участком кривой деформирования от точки A вниз (рис. 11.13в). При малом изменении напряжений эту кривую можно заменить касательной к кривой деформирования в точке A. Тогда, величину догрузки Δσд можно оценить:
Δσд = Eк Δεд, где
Eк = tgβ - касательный модуль упругости.
В точках, расположенных с выпуклой стороны изогнутого стержня, происходит разгрузка (рис. 6.14г). Величину разгрузки Δσр оценим по участку разгрузки на диаграмме деформирования (рис. 6.14в):
Δσр = E Δεр, где
E = tgα - модуль упругости.
Так как при потере устойчивости справедлива гипотеза плоских сечений, поэтому, как и при изгибе:
Δε = (1/ρ) t, где
t - расстояние точки сечения от нейтральной оси n-n, положение которой, заранее неизвестно;
ρ - кривизна деформированной оси стержня.
Соответственно, для зон догрузки и разгрузки, получим:
Δσд = Eк (t/ ρ), Δσр = E (t/ ρ). (1)
При малом искривлении стержня нормальная сила в поперечном сечении остается неизменной, поэтому:
Подставим выражения (1) и после преобразований получим:
Eк S1 = E S2, (2)
где S1 и S2 – статические моменты зоны догрузки и зоны разгрузки относительно нейтральной оси. При заданном напряжении sкр, а следовательно Eк, из полученного уравнения (2) путем последовательных проб определяется положение нейтральной оси.
Вычислим теперь момент относительно нейтральной оси «n‑n», создаваемый дополнительными напряжениями Δσд, Δσр:
, (3)
где I1, I2 - моменты инерции площадей F1 и F2 относительно оси «n‑n».
Зависимость (3) устанавливает связь между дополнительным изгибающим моментом и кривизной. В упругой области эта зависимость можно представить в виде:
где I – момент инерции всего сечения относительно главной центральной оси;
Величина Eпр называется приведенным модулем или модулем Кармана.
Как видно приведенный модуль зависит не только от материала, но и от формы поперечного сечения. Теперь можно рассматривать потерю устойчивости сжатого стержня совершенно так же, как потерю устойчивости в упругой области. В дифференциальном уравнении изгиба нужно заменить модуль упругости E модулем Кармана Eпр.
В результате критическая сила:
(4)
критические напряжения определяются трансцендентным уравнением:
sкр =.
Так как величина Eпр зависит от касательного модуля Eк, а тот в свою очередь от sкр, то величина критического напряжения зависит от вида диаграммы деформирования и формы поперечного сечения.
В случае, если материал стержня деформируется упруго, нейтральная линия совпадает с главной центральной осью сечения, I1 + I2 = I и Eпр = E. Тогда формула (4) совпадает с формулой Эйлера. Для нессиметричного сечения не безразлично, с какой стороны от нейтральной линии расположены зона догрузки и зона разгрузки. Это означает, что изгиб стойки в одну и другую стороны не равновероятен. Для того, чтобы решить, в какую сторону происходит изгиб, надо после подсчета Eпр поменять местами зоны догрузки и разгрузки и провести расчет заново. Из двух значений Eпр необходимо выбрать наименьшее.
Пример 11.5
Определить критическую нагрузку при сжатии стержня прямоугольного сечения размерами a×b. Стержень длиной l шарнирно закреплен. Для материала стержня задана идеализированная диаграмма деформирования (рис.6.15):
Рисунок 6.15
Решение.
1. Определим положение нейтральной оси из соотношения: Eк S1 = E S2.
Рисунок 6.16
Статические моменты относительно нейтральной оси «n‑n» (рис. 6.16).
S1 = h ξa (a/2)ξ
S2 = h a(1-ξ) (a/2)(1-ξ),
Подставим эти выражения в соотношение, получим:
(E-Eк) ξ2 -2 E ξ + E =0.
Решая полученное уравнение, получим:
.
2. Моменты инерции частей сечения относительно нейтральной оси «n‑n».
,
.
Момент инерции полного сечения относительно главной центральной оси yc:
.
3. Определим приведенный модуль Кармана.
4. Определим величину критической силы. Так как стержень шарнирно закреплен μ=1.