Функции, заданные параметрически

Логарифмическое дифференцирование

Производные элементарных функций

Основные правила дифференцирования

1) f= const, f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Следствие. (cf (x)) ¢=cf¢ (x), (c ₁ f ₁(x) +…+c_nf_n (x)) ¢= c ₁ f¢ ₁(x) +…+ c_n f¢_n (x)

4) f=u/v, v (x ₀)¹0 и производная существует, то f¢= (u¢v-v ¢ u)/ v ².

Для краткости будем обозначать u=u (x), u ₀ =u (x ₀), тогда

=

Переходя к пределу при D x® 0получим требуемое равенство.

5) Производная сложной функции.

Теорема. Если существуют f¢ (x ₀), g¢ (x ₀) и x ₀ =g (t ₀), то в некоторой окрестности t ₀ определена сложная функция f (g (t)), она дифференцируема в точке t ₀ и

Доказательство.

f (x) - f (x ₀) =f¢ (x ₀)(x-x ₀) + a(x)(x-x ₀), x Î U (x ₀).

Можно считать a(x ₀)=0.

f (g (t)) - f (g (t ₀)) = f¢ (x ₀)(g (t) - g (t ₀)) + a(g (t))(g (t) - g (t ₀)).

Поделим обе части этого равенства на (t - t ₀)и перейдем к пределу при t®t ₀.

6) Вычисление производной обратной функции.

Теорема. Пусть f непрерывна и строго монотонна на [ a,b ]. Пусть в точке x ₀Î(a,b) существует f¢ (x ₀)¹ 0, тогда обратная функция x=f ^-1(y) имеет в точке y ₀ производную, равную

Доказательство. Считаем f строго монотонно возрастающей, тогда f ^-1(y) непрерывна, монотонно возрастает на [ f (a) ,f (b)]. Положим y ₀ =f (x ₀), y=f (x), x - x ₀=D x,

y - y ₀=D y. В силу непрерывности обратной функции D y ®0 Þ D x ®0, имеем

. Переходя к пределу, получим требуемое равенство.

7) Производная четной функции нечетна, производная нечетной функции четна.

Действительно, если x® - x ₀, то - x® x ₀, поэтому

Для четной функции для нечетной функции

.

1) f= const, f¢ (x)=0.

2) f (x) =x, f¢ (x)=1.

3) f (x) =e^x, f¢ (x) = e^x,

4) f (x) =a^x, (a^x) ¢ = a^x ln a.

5) ln a.

6) f (x)=ln x,,

Следствие. (производная четной функции нечетна)

6)

7) (x ^m )¢= m x ^{m -1}, x >0, x ^m =e ^{m ln x} .

8) (sin x) ¢= cos x,

9) (cos x) ¢=- sin x, (cos x) ¢= (sin(x+ p/2)) ¢= cos(x+ p/2)=-sin x.

10) (tg x) ¢= 1/cos² x.

11) (ctg x) ¢= -1/sin² x.

12).

.

13).

.

14).

.

15)

.

16) sh x, ch x.

.

.

f(x),, откуда следует, что f¢ (x) =f (x)(ln f (x))¢.

Ту же формулу можно получить иначе f (x) =e ^{ln f (x)}, f¢=e ^{ln f (x)}(ln f (x))¢.

Пример. Вычислить производную функции f=x^x.

=x^x = x^x = x^x = x^x (ln x + 1).

Геометрическое место точек на плоскости

.

будем называть графиком функции, заданной параметрически. Говорят также о параметрическом задании функции.

Замечание 1. Если x, y непрерывны на[ a,b ]и x (t)строго монотонна на отрезке[a,b](например, строго монотонно возрастает), то на [ a,b ], a=x (a), b=x (b)определена функция f (x) =y (t (x)), где t (x) – обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции

.

Если область определения [a,b]параметрически заданной функции можно разбить на конечное число отрезков [a _k, b _k ], k= 1,2, …,n, на каждом из которых функция x (t)строго монотонна, то параметрически заданная функция распадается на конечное число обычных функций f_k (x) =y (t ^-1(x))с областями определения [ x (a _k), x (b _k)]для участков возрастания x (t)и с областями определения [ x (b _k), x (a _k)]для участков убывания функции x (t). Полученные таким образом функции называются однозначными ветвями параметрически заданной функции.

На рисунке показан график параметрически заданной функции

При выбранной параметризации область определения [0,2p]разбивается на пять участков строгой монотонности функции sin(2 t), именно: t Î t Î, t Î, t Î, и, соответственно, график распадется на пять однозначных ветвей, соответствующих этим участкам.

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Можно выбрать другую параметризацию того же геометрического места точек

.

В этом случае таких ветвей будет только четыре. Они будут соответствовать участкам строгой монотонности t Î, t Î, t Î, t Îфункцииsin(2 t).

Рис. 4.6

Четыре участка монотонности функции sin(2 t) на отрезке длинной.

Рис. 4.7

Изображение обоих графиков на одном рисунке позволяет приблизительно изобразить график параметрически заданной функции, используя участки монотонности обеих функций.

Рассмотрим для примера первую ветвь, соответствующую отрезку t Î. На концах этого участка функция x= sin(2 t)принимает значения -1и 1, поэтому эта ветвь будет определена на [-1,1]. После этого нужно смотреть на участки монотонности второй функции y= cos(t), у нее на два участка монотонности.Это позволяет сказать, что у первой ветви имеется два участка монотонности. Найдя концевые точки графика можно соединить их прямыми для того, чтобы обозначить характер монотонности графика. Проделав это с каждой ветвью, получим участки монотонности однозначных ветвей графика (на рисунке они выделены красным цветом)

Рис. 4.8

Первая однозначная ветвь f ₁(x) =y (t (x)), соответствующая участку будет определена для x Î[-1,1]. Первая однозначная ветвь t Î, x Î[-1,1].

Все остальные три ветви будут иметь областью определения тоже множество [-1,1].

Рис. 4.9

Вторая ветвь t Î x Î[-1,1].

Рис. 4.10

Третья ветвь t Î x Î[-1,1]

Рис. 4.11

Четвертая ветвь t Î x Î[-1,1]

Рис. 4.12

Замечание 2. Одна и та же функция может иметь различные параметрические задания. Различия могут касаться, как самих функций x (t), y (t), так и области определения[a,b]этих функций.

Пример различных параметрических заданий одной и той же функции

и t Î[-1, 1].

Замечание 3. Если x,y непрерывны на[a,b], x (t)- строго монотонна на отрезке[a,b]и существуют производные y¢ (t ₀), x¢ (t ₀)¹0, то существует f¢ (x ₀) =.

Действительно,.

Последнее утверждение распространяется и на однозначные ветви параметрически заданной функции.

4.2 Производные и дифференциалы высших порядков

Старшие производные и дифференциалы. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Формула Лейбница.