Можно показать, что гармонический базис, основанный на использовании тригонометрический функций и (n = 0, 1, 2, 3, …) является ортогональным на интервале ¸ . В соответствие с выражением для обобщенного ряда Фурье, интегрируемая в квадрате функция f (t) может быть представлена на этом интервале в виде ряда:
Введем обозначение , тогда:
(*)
Выражение (*) представляет собой тригонометрическую форму ряда Фурье.
Коэффициенты an и bn вычислим по формулам обобщенного ряда Фурье:
(**а)
(**b)
Если в формуле (**а) положить n = 0, то .
Поскольку при интеграл , следовательно, , .
Из формулы для а0 следует, что первый член ряда а0 есть среднее значение или постоянная составляющая (нулевая гармоника) функций f(t) на том интервале. Полагая в формуле (*) , её можно записать в виде:
(***)
Где (из системы)
Представление ряда Фурье в (***), называемой амплитудно-фазовой, позволяет выделить спектр амплитуд (совокупность а0 и Сn) и спектр фаз (совокупность углов ).