Пример представления систем в виде агрегатов

Рассмотрим однолинейную СМО следующего вида. В моменты времени t_j, представляющие собой случайный поток однородных событий с заданным законом распределения, в систему поступают заявки, каждая из которых характеризуется параметром a_j. Величина a_j является случайной величиной с условным законом распределения f(a/t) при условии, что t_j=t. Если линия обслуживания занята, заявка попадает в очередь и может находиться там (ждать) не более, чем

t_k^(ж)=j(a_j,b _i) (11.17)

Величина b _i является случайной величиной с условным законом распределения f (b/t) при условии, что t _k =t. Величины t _k образуют случайный поток однородных событий с заданным законом распределения, не зависимый от t_j. Заявка должна быть принята к обслуживанию не позднее, чем в момент времени t_j+t_k^(ж), в противном случае она получит отказ.

Время обслуживания заявки или время занятости линии

t_k^(з)=y(a_j,b _i) (11.18)

Представим эту СМО в виде агрегата. Состояние агрегата будем характеризовать вектором z(t)ÎZ со следующими компонентами:

z₁(t) – время, оставшееся до конца обслуживания заявки (для заявки, которая находится на обслуживании);

z₂(t) – значение величины b _i;

z₃(t) – количеств заявок в очереди;

z₄(t) – оставшееся время ожидания первой заявки из очереди (время до момента отказа);

z₅(t) – оставшееся время ожидания второй заявки из очереди (время до момента отказа);

z_k(t) – оставшееся время ожидания последней заявки из очереди (время до момента отказа).

Входной сигнал x_j поступает в момент t_j и несет с собой информацию об a_j, т.е. x_j=a_j. Управляющий сигнал g _i поступает в момент t_i и несет с собой информацию о величине b _i, т.е. g _i =b _i.

Рассмотрим подмножества Z_y и соответствующие им выходные сигналы y, операторы W и U.

Подмножество Z _y⁽¹⁾. Пусть в момент времени t₁:

z₁(t₁)=0; z _l (t)>0; l =3,4,…,k.

Это означает, что обслуживание заявки закончилось. Выходной сигнал y₁=(y₁⁽¹⁾,y₁⁽²⁾). Здесь y₁⁽¹⁾ – признак «заявка обслужена», y₁⁽²⁾=y₁⁽²⁾(a_j,b _i,t₁) – выходной параметр заявки, зависящий от a_j и b _i. Заметим, что случайный характер оператора G¢ может проявляться в том, что y₁² (a_j,b _i,t₁) представляет собой случайную функцию a_j,b _i,t_1. Оператор W, определяющий состояние агрегата в момент t₁+0, задается следующим образом. Из всех z _l (t₁), где l =4,5,..k=z₃(t), выбирается наименьшее и соответствующая заявка, например номер m, m£k принимается к обслуживанию со временем обслуживания (занятости канала) t⁽³⁾_m=y(a_m,b _i). Поэтому

(11.19)

Количество заявок в очереди уменьшится на 1: z₃(t₁+0)=z₃(t₁)-1 (11.20), а величина z_m(t₁+0) не определяется. Все остальные z _l (t₁+0) при l =4,5,..(за исключением z_m)

z _l (t₁+0)= z _l (t₁) (11.21)

Оператор U, определяющий состояния агрегата для моментов времени t>t₁ (до последующего особого состояния) имеет вид

z₁(t)=z₁(t₁+0)-(t-t₁)

z₂(t)=z₂(t₁+0)=const

z₃(t)=z₃(t₁+0)=const (11.22)

z₄(t)=z₄(t₁+0)-(t-t₁)

............…………

z_k(t)=z_k(t₁+0)-(t-t₁)

Подмножество . Пусть в момент времени t₂:

z₁(t₂)>0; z₃(t₂)>0, z_m(t₂)=0, 4£m£k

Это означает, что время ожидания одной из заявок в очереди истекло. Поскольку заявка до момента t₂ не была принята к обслуживанию, она получает отказ. Выходной сигнал y₂=(y₂⁽¹⁾,y₂⁽²⁾). Здесь y₂⁽¹⁾ представляет собой признак «заявка получила отказ», y₂⁽²⁾= y₂⁽²⁾(a_j,b _i,t₂) – выходной параметр заявки. Оператор W в момент t₂+0 описывается соотношениями:

z₁(t₂+0)=z₁(t₂)

z₂(t₂+0)=z₂(t₂

z₃(t₂+0)=z₃(t₂)-1 (11.23)

............…………

z _l (t₂+0)=z _l (t₂) l =4,5,..k l¹ m

Величина z_m(t₂+0) не определяется. Оператор U₍₎ для моментов времени t>t₂ определяется равенствами.

z₁(t)=z₁(t₂+0)-(t-t₂)

z₂(t)=z₂(t₂+0)=const

z₃(t)=z₃(t₂+0)=const (11.24)

............…………

z _l (t)=z _l (t₂+0)-(t-t₂)) l =4,5,..k l¹ m

Подмножество . В момент времени t₃: z₁(t₃)=0, z₃(t₃)=0. Это значит, что очередь заявок отсутствует, и обслуживание закончилось в момент t₃. Выходной сигнал y₃=(y₃¹,y₃²). Здесь y₃¹ – признак «система свободна», а y₃²=t₃ показывает момент освобождения системы. Оператор W: z₁(t₃+0)=0; z₃(t₃+0)=0; другие z_l не определяются. Оператор для всех t>t₃ задается соотношениями: z₁(t)=0, z₃(t)=0; z_l(t) при l>3 не определяются (до следующего особого состояния).

Пусть теперь в момент t_j поступает входной сигнал x_j=a_j (заявка с параметром a_j). Оператор V¢ имеет следующий вид. Если входной сигнал поступил после выходного сигнала y₃ (действовал оператор ), то это означает, что система была свободной, и заявка сразу поступила на обслуживание с t_j³=y(a_j,b_i). Поэтому

z₁(t_j+0)= t_j⁽³⁾=y(a_j,b _i) (11.25)

z₃(t_j+0)=0

…………………………….

Величины z_l(t_j+0) для l>3 не определяются. Если входной сигнал поступил после выходных сигналов y₁ и y₂, то заявка попадает в очередь, т.е.

z₁(t_j+0)=z₁(t_j)

z₂(t_j+0)=z₂(t_j)

z₃(t_j+0)=z₃(t_j)+1

…………………. (11.26)

z _l (t_j+0)=z _l (t_j); l =4,5,..k

………………….

z_k+1(t_j+0)=t_j^(ж)=j (a_j,b _i)

В дальнейшем (оператор ) состояния z(t) определяются аналогично (11.22)

Пусть теперь в момент t _i поступает управляющий сигнал g _i =b_i+1. При этом изменится только значение z₂(t): вместо прежнего значения b_i должно быть z₂(t)=b _{i +1}. остальные z _l (t) не зависят от b _{i +1}. Из этого легко усмотреть содержание операторов W и U.

На этом рассмотрение примера можно закончить. Обзор процесса функционирования такой системы массового обслуживания как агрегата дальше можно сделать самостоятельно.