Многоканальная СМО с отказами

Рассмотрим n-канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с системой). Состояния будут:

S₀ – все каналы свободны;

S₁ – занят ровно один канал, остальные свободны;

……

S_k – заняты ровно k каналов, остальные свободны;

…….

S_n – заняты все n каналов.

Граф состояний имеет следующий вид. Слева направо систему переводит один и тот же поток – поток заявок с интенсивностью l.

Очевидно, если обслуживанием занято 2 канала, а не один, поток обслуживаний, переводящий систему по стрелке S₂®S₁, будет вдвое интенсивнее (2m), если занято k - каналов – в k раз интенсивнее (km). Процесс такого вида представляет собой частный случай процесса гибели и размножения. Составляем уравнения Колмогорова:

(9.6).

Уравнения (9.6) называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными условиями являются:

p₀(0)=1; p₁(0)=p₂(0)=…=p_n(0)=0

Интегрировать (6) в аналитическом виде довольно сложно, на практике решают численно с использованием ЭВМ. Такое решение дает нам все вероятности состояний как функции времени: p₀(t), p₁(t), …, p_n(t).

Больше всего интересны предельные вероятности состояний, характеризующие установившийся режим работы СМО (при t®¥). Воспользуемся готовым решением, полученным для схемы гибели и размножения:

(k=1,2,..n) (9.7).

Обозначим и будем называть величину r «приведенной интенсивностью» потока заявок. Физический смысл её таков: величина r представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки. С учетом этого (9.7) принимает вид:

(9.8). Формулы Эрланга.

Теперь можно найти характеристики эффективности СМО: q, А, Р_отк.

Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Вероятность этого равна:

.

Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же q) дополняет Р_отк до 1: q = 1-p_n. И наконец: А= lq=l(1- p_n).

Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов (в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе). Обозначим это среднее число . Величину можно вычислить непосредственно по формуле:

как математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей значение 0,1, …n с вероятностями p₀, p₁…p_n.

Однако значительно проще выразить через А. А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени m заявок; следовательно, среднее число занятых каналов

или .