Свойства условного математического ожидания

Свойство 1 (правило повторного ожидания). Если , где – некоторая неслучайная функция от Х, то .

Следствие. .

Доказательство проведём для непрерывной случайной величины. По определению имеем . Тогда

.

Свойство 2. Если , где – некоторая неслучайная функция от Х, то .

Свойство 3. Если случайные величины Х и У независимы, то .

Пример 1. Дискретная двумерная случайная величина задана законом распределения:

У Х	=3	=6
=1	0,15	0,30
=3	0,06	0,10
=4	0,25	0,03
=8	0,04	0,07

Найти условное математическое ожидание составляющей У при Х==1.

Решение. 1) Найдём , для чего сложим вероятности, помещённые в строке таблицы: =0,15+0,30=0,45.

2) Найдём условное распределение вероятностей составляющей У при Х==1:

, .

3) Найдём искомое условное математическое ожидание: .

Ответ: .