Максимум и минимум функций

Точка x ₀называется точкой максимумафункции у = f (х), если существует такая δ - окрестность точки x ₀,что для всех х ≠ x ₀ из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (x ₀).

Аналогично определяется точка минимума функции: x ₀- точкаминимумафункции, если . На рисунке 8 x ₁ - точка минимума, а точка х ₂- точка максимума функции у = f (х).

Рис. 8.

Значение функции в точке максимума (мини­мума) называется максимумом(минимумом)функции. Максимум (минимум) функции называ­ется экстремумом функции.

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точкахобласти определения. Рассмотрим условия существова­ния экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция у = f (х) имеет экстремум в точке x ₀,тo ее производная в этой точке равна нулю: f '(x ₀) = 0.

Геометрически равенство f '(x ₀) = 0 озна­чает, что в точке экстремума дифференцируе­мой функции у = f (х)касательная к ее графи­ку параллельна оси Ох (см. рис. 9).

Рис. 9.

Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если f '(x ₀) = 0, то это не значит, что x ₀- точка экстремума. Например, для функции у = х ³ ее производная

у ′ = 3 х ² равна нулю при х = 0, но х = 0 не точка экстремума (см. рис. 10).

Рис. 10.

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция у = |х| в точке х = 0 производной не имеет, но точка х = 0 — точка минимума (см. рис. 11).

Рис. 11.

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются кри­тическими.

Теорема (достаточное условие экстремума).

Если непрерывная функция у = f (x)дифференцируема в некоторой δ -окрестности критической точки x ₀ и при переходе через нее (слева направо) производная f '(х) меняет знак сплюса на минус, то x ₀ есть точка максимума; с минуса на плюс, то x ₀ - точка минимума.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстре­мумы.

Чтобы найти точки экстремума данной функции, нужно:

1) найти критические точки функции у = f (х);

2) выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3) исследовать знак производной f '(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4) в соответствии с теоремой (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Теорема. Если в точке x ₀ первая производная функции f (x) равна нулю (f '(x ₀) = 0), а вторая производная в точке x ₀ существует и отлична от нуля (f "(x ₀) ≠ 0), то при f "(x ₀) < 0 в точке x ₀ функция имеет максимум и минимум - при f "(x ₀) > 0.