Глава 7. Цифровые фильтры с конечной

Глава 7. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С КОНЕЧНОЙ

ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (КИХ-ФИЛЬТРЫ)

7.1. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой

Одним из наиболее существенных достоинств КИХ-фильт­ров является возможность получения абсолютно линейной (идеальной) фазочастотной характеристики. Такое свойство особенно ценно для фильтрующих устройств, предназначенных для обработки таких сигналов, в которых информативным параметром является фаза или частота.

Линейность фазочастотной характеристики (ФЧХ) КИХ-фильтра обеспечивается при выполнении единственного усло­вия – симметрии (или антисимметрии) его дискретной им­пульсной характеристики (ДИХ). Это условие записывается так:

                                                                     (7.1)

 где N – полное число отсчетов ДИХ, включая нулевой.

КИХ-фильтры с линейной ФЧХ различаются по своим по­казателям в зависимости от того, является ли ДИХ сим­метричной или антисимметричной, а также от четности или нечетности числа отсчетов.

Рассмотрим вначале КИХ-фильтры, у которых ДИХ симметрична и имеет четное число отсчетов N.

Возможная форма ДИХ в таком варианте показана на рис. 7.1,а. Симметрия ДИХ определяется соотношением:

                                                                                  (7.2)

Ось симметрии – вертикальная прямая, пересекающая абсциссу в точке n = (N  – 1)/2. На рис. 7.1,а это точка n = 6,5.

Рис. 7.1. Симметричная ДИХ с четным N: а)возможный вариант ДИХ; б) вид АЧХ.

 

Вначале найдем передаточную функцию КИХ-фильтра, как z -преоб­разова­ние ее ДИХ:

                                                                          (7.3)

 

Преобразуем (7.3) к следующему виду, разделив сумму на левые относительно оси симметрии компоненты (левая сумма) и правые компоненты:

                    .                      (7.4)

Дальнейшие преобразования полученного выражения имеют целью ввести в (7.4) одинаковые пределы суммирования в обеих суммах:

                           (7.5)

 Учитывая свойство симметрии ДИХ (7.2), представим (7.5) так:

                                                     (7.6)

Теперь получим выражение для комплексного коэффициента передачи КИХ-фильтра, введя  в (7.6) замену z = exp(j F):

                                           (7.7)

Комплексный множитель в (7.7), заключенный в квадратные скобки, запишем в обобщенной форме:

                                                    (7.8)

где

                           b _k = – F× k, g _k = – F×(N – 1 – k).                         (7.9)

Тогда (7.7) перепишется в виде:

                                                           (7.10)

Представим левую часть выражения (7.8) в виде:

откуда для M_k и j _k получим следующие выражения:

       (7.11)

                                                                   (7.12)

Заменив  b _k  и  g _k  в соответствии с выражением (7.9), получим:

                                                                                       (7.13)

                                                                                 (7.14)

где a = (N – 1)/2.

 Выражение для комплексного коэффициента передачи рассматриваемого КИХ-фильтра в законченном виде получим подстановкой (7.13) и (7.14) в (7.10):

                   

откуда видно разбиение на фазовый (первая экспонента в формуле) и амплитудный (выражение в фигурных скобках) члены.

Амплитудно-частотная характеристика H (Ф) и фазочастотная характеристика j(F) определяются выражениями:

                                                      (7.15)

                                 .                            (7.16)

Обратим внимание, что АЧХ (7.15) является четной функцией аргумента F. При четном N множитель (a - k) = [(N –1)/2 – k ] при любом целом k  всегда содержит дробную часть, равную 1/2. Это приводит к тому, что на частоте, соответствующей верхней границе интер­вала Найквиста Ф _max = p, коэффициент передачи КИХ-фильтра равен нулю. Примерная форма АЧХ КИХ-фильтра с рассматриваемым вариантом ДИХ показана на рис. 7.1,б.

Определяемая выражением (7.16) фазочастотная характеристика является линейно-разрывной функцией. Разрывы происходят на частотах F, где функция tgaF = tg[(N – 1)F/2] обращается в бесконечность. Значения этих частот можно найти из равенства:

                     

на основании которого получаем:

                                                                                   (7.17)

Рис. 7.2. ФЧХ КИХ-фильтра с симметричной ДИХ и четным N.

 

На рис. 7.2 приведены, построенные по выражению (7.16), графики ФЧХ для четных значений N. Как видно из графиков, ФЧХ антисимметрична относительно частоты F = p:

                                  j(F) = - j(2p - F).                                 (7.18)