Эффекты конечной разрядности в цифровых устройствах

Задача 50. Рассматривается БИХ-фильтр 1-го порядка с передаточной функцией H (z) = 1/(1 – bz ^{– 1}). Рассчитайте реальную длительность дискретной импульсной характеристики этого фильтра T _ДИХ, если b = 0,9, частота дискретизации f _Д = 10 кГц и разрядность АЦП B = 10.

Решение. ДИХ заданного ЦФ определяется выражением: h (n) = bⁿ. Ее цифровые отсчеты реально существуют, пока их значение не меньше одного интервала квантования D = 2 ^{– B}. Значение n, при котором h (n) = = D,   найдем из уравнения: D = bⁿ, или, по-другому:   2 ^{– B} = bⁿ. Из последнего выражения определяем: n = (– B lg2)/lg b = 66. Таким образом, реальная длительность ДИХ равна: T _ДИХ = 66∙(1/ f _Д) = 6,6 мс.

Задача 51. ЦФ с передаточной функцией

                                                       (1)

является единственным в составе устройства цифровой обработки сигналов. Нули и полюсы в (1) действительные, поэтому ЦФ может быть реализован как в канонической, так и в последовательной структурной форме. Какой вариант предпочтительнее?

Решение. В тех случаях, когда снижение разрядности АЦП имеет значение, более предпочтительной является последовательная структура. Покажем это. При реализации ЦФ в канонической форме коэффициентами структуры являются коэффициенты передаточной функции (1), выражаемые четырьмя десятичными знаками после запятой. Коэффициенты ЦФ в последовательной структуре равны численным значениям нулей и полюсов заданной передаточной функции (1), что следует из ее преобразования к виду:

                   

Расчет показывает, что нули и полюсы передаточной функции (1) имеют следующие значения: z ₀₁ = – 0,91; z _П1 = 0,56; z ₀₂ = – 0,76; z _П2 = = 0,76, а, значит, выражаются двумя десятичными знаками после запятой. Следовательно, разрядность коэффициентов в последовательной структуре, изображенной на рис. П1.50, оказывается меньше по сравнению с канонической формой, что делает эту структуру более предпочтительной.

Рис. П1.50. Последовательная структура ЦФ.

 

Задача 52. Рассчитайте цифровой резонатор 2-го порядка по следующим данным:

– резонансная частота f ₀ = 125 кГц,

– полоса пропускания P = 8 кГц,

– частота дискретизации f _Д = 1 МГц,

– разрядность дробной части коэффициентов ЦФ B = 10,

– резонансный коэффициент передачи не задан.

Определите отклонение величин P и f ₀ от заданных значений за счет неточного представления коэффициентов в ЦФ.

Решение. Если аналогом-прототипом данного ЦФ является одиночный колебательный контур, то, как показано в подразделе 8.5, передаточная функция цифрового резонатора записывается в виде: 

                                                                     (1)

Рассчитанные по заданным   значениям f ₀, P и f _Д коэффициенты b ₁ и b ₂ используются при реализации фильтра. От точности представления этих коэффициентов при ограниченной разрядности, определяемой значением B, зависит отклонение параметров реальной АЧХ f ₀ и P от заданных.

Коэффициенты b ₁ и b ₂ выразим через полярные координаты полюсов передаточной функции (1):

                                                                         (2)

В свою очередь, координаты полюсов могут быть рассчитаны по заданным значениям f ₀ и P (см. подраздел 8.5):

                                                                     (3)

Используя формулы (2) и (3), определим точные значения коэффициентов: b ₁ = 1,379113428; b ₂ = 0,950976923.

При разрядности B = 10 дробная часть b ₁ и b ₂ может быть представлена только десятью двоичными разрядами, или только тремя десятичными разрядами. В этом случае приближенные значения коэффициентов имеют вид:

– в случае округления: = 1,379; = 0,951;

– в случае усечения: = 1,379; = 0,95.

Найдем параметры реальной АЧХ  и , используя (2) и (3).

Имея ввиду, что , из первой формулы в (3) получим:

                                    

что дает следующие значения реальной полосы пропускания:

– в случае округления:

– в случае усечения:

Выражение для определения реального значения резонансной частоты получим из формул (2):

                     

Расчет по этой формуле дает следующие реальные значения :

– в случае округления:

125,02 кГц;

– в случае усечения:

124,93 кГц. 

Таким образом, неточное представление коэффициентов, связанное с ограниченной разрядностью, привело к изменению полосы пропускания с максимальной ошибкой 2% и изменению резонансной частоты с максимальной ошибкой 0,75%.

Задача 53. ЦФ реализован в двух структурных формах: прямой (рис. П1.51а) и канонической (рис. П1.51б). Параметры a = 0,65; b = 0,95. Определите собственный шум на выходах этих структур.

Рис. П1.51. Реализации ЦФ в задаче 53: а) по прямой структурной форме; б) по канонической структурной форме.

 

Решение. В обоих структурах действуют три источника шума: АЦП (источник шума квантования) и два умножителя (источники шума округления произведений). Дисперсии шума этих источников одинаковы: s_Ш² =2^{– 2 b} /12. В структуре по прямой форме все три источника действуют на входе рекурсивной части ЦФ, и дисперсия шума на выходе равна:

               

где D _Р – коэффициент передачи шума в рекурсивной части ЦФ, h _Р(n) = = bⁿ – импульсная характеристика рекурсивной части ЦФ.

Найдем величину D _Р и подставим ее в выражение для s_Ш.ВЫХ.1²:

                    

В структуре по канонической форме на входе ЦФ действуют два источника шума: АЦП и умножитель на коэффициент b. На выходе ЦФ эти составляющие образуют шум с дисперсией:

            

где D _Ф – коэффициент передачи шума в фильтре по канонической форме, h _Ф – ДИХ фильтра по канонической форме.

Кроме этого, на выходе ЦФ непосредственно действует шум умножителя на коэффициент a. Дисперсия этого шума равна s_Ш².

Определим величину D _Ф. Для этого надо знать ДИХ фильтра по канонической форме. Передаточная функция рассматриваемого ЦФ (вне зависимости от его структурной формы) описывается выражением:

                                                                               (1)

ДИХ такого ЦФ определена в задаче 41:

                    

По h _Ф(n) найдем D _Ф:

               

Результирующий шум на выходе канонической формы (с учетом шума умножителя на коэффициент a) равен:

                           (2)

Расчет по (1) и (2) при a = 0,65 и b = 0,95 дает следующие результаты:

               s_Ш.ВЫХ.1² = 31s_Ш²; s_Ш.ВЫХ.2² = 56s_Ш².

Таким образом, при заданных значениях a и b результирующий шум на выходе ЦФ в канонической структурной форме оказывается почти в два раза больше, чем при использовании прямой структурной формы.

Задача 54. Определите собственный шум цифрового синхронного накопителя (ЦСН).

Решение. Если обратиться к структурной схеме ЦСН (см. подраздел 7.5), то можно удостовериться, что в ней отсутствуют умножители. Следовательно, собственный шум ЦСН равен нулю. Однако на выходе ЦСН шум присутствует. Источником его является шум предыдущих устройств, например, шум АЦП, возникающий при образовании цифровых отсчетов.

Задача 55. Определите дисперсию собственного шума двух режекторных ЦФ, нуль-полюсные диаграммы которых показаны на рис. П1.52. Разрядность ЦФ одинаковая и равна B = 12.

Рис. П1.52. Нуль-полюсные диаграммы ЦФ к задаче 55: варианты а) и б).

 

Решение. Из нуль-полюсных диаграмм следует, что рассматриваемые фильтры являются КИХ-фильтрами. Общее выражение для передаточной функции КИХ-фильтра имеет вид:

                 .

Из этого выражения следует, что каждый из фильтров имеет два полюса, расположенных в начале координат и не влияющих на АЧХ, а также два нуля, расположенных на окружности единичного радиуса. По координатам нулей найдем численные значения коэффициентов передаточной функции.

Для варианта а):

              a₁ = – (z ₀₁ + z ₀₂) = – (j – j) = 0, a₂ = z ₀₁· z ₀₂ = j ·(– j) = 1.

Для варианта б):

Таким образом, коэффициенты передаточной функции равны либо нулю, либо единице, и при реализации этих фильтров не требуются умножители, вносящие шум округления. Следовательно, собственный шум рассматриваемых ЦФ равен нулю.

Задача 56. Рассматривается КИХ-фильтр нижних частот с линейной фазой. Цифровая частота среза F_С = p/2, число отсчетов ДИХ N =120. С целью улучшения параметров фильтра число отсчетов ДИХ увеличено до N ' = 480 с сохранением прежнего значения частоты дискретизации. Как это скажется на коэффициенте передачи шума квантования D?

Решение. Для решения поставленной задачи воспользуемся формулой (8.13) из гл. 8, которая применительно к КИХ-фильтрам, у которых число отсчетов равно N, имеет вид:

                                                                                     (1)

На первый взгляд создается впечатление, что увеличение числа отсчетов N в ДИХ должно привести к возрастанию коэффициента D. Проверим, так ли это на самом деле.

Для заданного КИХ-фильтра ДИХ определена в подразделе 7.2 (пример 7.1) и записывается так:

                                                                            (2)

где a = (N – 1)/2. Подставив (2) в (1), получим:

                                                                     (3) 

Обратим внимание на то, что с увеличением N  знаменатель в последнем выражении возрастает, что может скомпенсировать рост D, вызванный увеличением числа отсчетов ДИХ.

Для определения зависимости D (N) достаточно по формуле (3) вычислить D для нескольких значений N. Результаты таких вычислений приведены в табл. П1.1.

Таблица П1.1.

N	D
	0,497
	0,498
	0,499

 

Как следует из таблицы, коэффициент D  практически не зависит от числа отсчетов ДИХ. Разумеется, этот вывод относится и к другим типам КИХ-фильтров с линейной фазой.

Решение задачи может быть получено и другим, более простым способом, если использовать определение коэффициента D по формуле (8.31):

                                  .

Увеличение числа N приводит лишь к сокращению переходной зоны АЧХ, что практически не влияет на значение эквивалентной шумовой полосы P_Ш. Максимальное значение АЧХ H _max равно единице при любом значении N. Отсюда следует, что коэффициент D практически не зависит от числа отсчетов N в ДИХ. Кроме того, принятый подход к решению задачи позволяет без труда оценить численное значение D при заданной частоте среза АЧХ F_С.  Поскольку начальное значение N достаточно велико, то форма АЧХ близка к прямоугольнику с высотой H _max = 1 и основанием F_С = p/2, что занимает половину интервала Найквиста. Поскольку спектральная плотность G шума квантования равномерно распределена в пределах 0 … p, то на выход фильтра с полосой F_С = p/2 попадает половина мощности шума квантования, т.е. D = 0,5, что совпадает с ранее сделанным заключением.

Задача 57. В процессе эксплуатации цифрового резонатора частота дискретизации была увеличена в два раза. Как при этом изменится выходной шум квантования?

Решение. Приняв резонансный коэффициент передачи ЦФ равным единице: H _max = 1, дисперсию шума квантования на выходе ЦФ определим формулой:

                                          s_ВЫХ ² = G _ВХP_Ш,                                            (1)

где G _ВХ – спектральная плотность шума квантования, P_Ш – эквивалентная шумовая полоса резонатора.

Величина G _ВХ в соответствии с выражением (8.26) равна:

                                 

поэтому формулу (1) можно представить в виде:

                               

При увеличении f _Д в два раза полоса пропускания резонатора тоже увеличится в два раза, при этом отношение P_Ш/ f _Д останется неизменным. Следовательно, шум квантования на выходе резонатора не изменится.

Задача 58. Цифровой биквадратный блок, выполняющий функции фильтра нижних частот, реализован в структурной канонической форме 1 (рис. П1.53). Максимальный коэффициент передачи ЦФ H _max = 1,5. Полоса пропускания ЦФ согласована со спектром сигнала и равна P_0,7 = = 12 кГц. Сигнал имеет характер случайного процесса с постоянной спектральной плотностью G _С = 5·10 ^{– 5} В²/Гц. Коэффициент A, определяющий эквивалентную шумовую полосу, равен 1,22. Частота дискретизации f _Д = 100 кГц. Определите разрядность b АЦП и вычислителей ЦФ, обеспечивающую отношение сигнал/шум 67 дБ на выходе ЦФ.

Рис. П1.53. Структурная схема ЦФ к задаче 58.

 

Решение. Вначале определим дисперсию сигнала на выходе ЦФ, используя (8.30):

                           s_С.ВЫХ ² = G _С H _max²P_Ш,                                         (1)

где P_Ш = A ·P.

Подставляя в (1) заданные значения, получим:

                 s_С.ВЫХ ² = 5·10 ^{– 5}·1,5²·1,22·12·10³ = 1,65.                          (2)

Перейдем к определению дисперсии шума на выходе ЦФ. В заданном ЦФ действуют пять источников шума: АЦП (шум квантования) и четыре умножителя 1,2,3,4 (см. рис. П1.53), которые создают шум округления. Дисперсии шума этих источников одинаковы:

                                      s_Ш² = 2 ^{– 2 b} /12.                                          (3)

АЦП и  умножители 1,2 действуют на входе ЦФ, умножители 3,4 создают шум непосредственно на выходе ЦФ. Таким образом, дисперсия результирующего шума на выходе ЦФ равна (см. подраздел 8.3):

                            s_Ш.ВЫХ ² = s_Ш²(3 D + 2) = 4s_Ш²,                               (4)

где коэффициент D определяется по (8.31):

                                                                             (5)

Отношение сигнал/шум рассматривается как отношение дисперсий сигнала и шума. В логарифмических единицах это отношение записывается так:

                    A,дБ = 10lg(s_С.ВЫХ²/s_Ш.ВЫХ²).

По условию задачи требуемое отношение сигнал/шум должно быть равно 67 дБ. Следовательно, отношение дисперсий должно быть равно 10^{[(с/ш),дБ]/10} = 10^67/10 = 5·10⁶. На основании выражений (2) … (5) получим:

                                       (6)

Из (6) найдем значение b:

                            

Задача 59. На рис. П1.54 приведены нуль-полюсные диаграммы двух ЦФ нижних частот. Сравните уровни шума на их выходах при действии на входах шума квантования. Разрядности обоих ЦФ одинаковы.

Рис. П1.54. НПД двух ЦФ к задаче 59.

 

Решение. Для решения этой задачи достаточно сравнить коэффициенты передачи шума квантования D:

                               

Передаточная функция ЦФ1 имеет вид:

                            H (z) = 1 + 0,9 z ^{– 1},

а его ДИХ, определяемая коэффициентами функции H (z), имеет только два отсчета: h ₁(0) = 1 и h ₁(1) = 0,9. Следовательно, для ЦФ1 имеем:

                                    D ₁ = h ²(0) + h ²(1) = 1,81.

Второй ЦФ – это БИХ-фильтр 1-го порядка, ДИХ которого равна: h ₂(n) = 0,9 ⁿ.

Коэффициент D ₂ определим как сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 0,9²:

                          

Так как коэффициент передачи шума квантования в ЦФ2 почти в три раза больше, чем в ЦФ1, то дисперсия шума квантования на выходе ЦФ2 больше, чем в ЦФ1, в те же три раза.

Задача 60. Определите число отсчетов N  в ДИХ однородного фильтра (цифрового синхронного накопителя) по следующим данным:

- эквивалентная шумовая полоса P_Ш = 100 Гц,

- частота дискретизации f _Д = 30 кГц.

Решение. ДИХ и АЧХ такого фильтра рассмотрены в подразделе 7.5.

В главе 8 было получено выражение (8.31), связывающее коэффициент передачи мощности шума в фильтре с его параметрами - максимальным значением коэффициента передачи H _maxи значением шумовой полосы P_Ш:

                               

где f _Д - частота дискретизации.

На основании последнего выражения можно записать:

                               

Как показано в подразделе 7.5, у однородного фильтра H _max = N. В соответствии с выражением (8.25), для однородного фильтра D = N. Следовательно, P_Ш = f _Д/2 N. Подставляя сюда заданные числовые значения, определим N:

                 N = f _Д/2P_Ш = 30000 Гц/2×100 Гц = 150.

Задача 61. Синхронный накопитель (однородный фильтр) предназначен для регистрации радиолокационного сигнала, который имеет вид импульсной пачки, состоящей из 180 импульсов. Амплитуды импульсов принимают случайные значения, распределенные по нормальному закону. Пачка поступает с выхода АЦП, имеющего b = 10 разрядов. Отношение сигнал/шум на выходе синхронного накопителя должно быть не меньше, чем 36 дБ. Реализуемо ли это требование?

Решение. Будем полагать, что все рассматриваемые напряжения нормированы по уровню, равному четырем эффективным значениям случайного сигнала. Примем далее, что нормированный динамический диапазон АЦП равен единице и максимальное значение сигнала также равно единице. После нормировки эффективное значение сигнала равно 0,25:

                                                                               

Дисперсия шума на выходе накопителя определяется выражениями (8.13) и (8.25):

                                                 

где s_ВХ² - дисперсия шума АЦП, s_ВХ² = 2^{- 2 b} /12.

Запишем выражение для отношения сиг­нал/шум:

   A, дБ =10 lg(P _C/ P _Ш) = 10 lg(s_С²/s_вых²) = 10 lg(12 ∙2^{2 b} ∙s_C²/ N).                     

Подставив в последнее выражение числовые данные, получим:

               A, дБ = 10 lg(12 ∙2²⁰∙0,25²/180) = 36,4 дБ.

Следовательно, поставленное требование реализуемо.

Задача 62. ЦФ, аналогом-прототипом которого является каскад с одиночным колебательным контуром, имеет полосу пропускания P_0,7 = = 12 кГц и резонансный коэффициент передачи H _max = 3,2. Частота дискретизации f _Д = 150 кГц. Определите коэффициент передачи ЦФ D = = s_вых²/s_вх² при действии на входе цифрового "белого" шума.

Решение. В соответствии с (8.31):

                                                             

Как было указано в гл. 8, шумовая полоса P_Ш связана с полосой пропускания усилителя (каскада) выражением: P_Ш = A ∙P_0,7. В случае каскада с одиночным колебательным контуром коэффициент A равен 1,57. Подставив в выражение для D числовые значения, получим: