Характеристики и расчет цифровых фильтров

Задача 33. БИХ-фильтр 1-го порядка задан передаточной функцией

                                                                                  (1)

Определите переходную характеристику этого ЦФ.

Решение. Для решения этой задачи целесообразно использовать разностное уравнение ЦФ:

                              y (n) = x (n) + by (n – 1).                                     (2)

Входным воздействием при снятии переходной характеристики является цифровая единичная функция:

                               x (n) = 1 при n ≥ 0.

Тогда уравнение (2) для переходной характеристики запишется так:

                                    g (n) = 1 + bg (n – 1).

Для установления закономерности в выражении для g (n) составим таблицу нескольких отсчетов g (n):

g (0) = 1+ b ∙0 = 1

g (1) = 1+ b ∙1 = 1 + b

g (2) = 1 + b (1 + b) = 1+ b + b ²

g (3) = 1 + b (1+ b + b ²) = 1+ b + b ² + b ³

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

g (n) = b ⁰ + b ¹ + b ² + b ³ +.....+ bⁿ.

Полученное выражение является ограниченной суммой членов геометрической прогрессии:

                              .

В качестве примера на рис. П1.39 показан график g (n) для b = 0,9.

Рис. П1.39. Переходная характеристика ЦФ.

 

Задача может быть решена и "классическим" способом с применением обратного z -преобразования. Для этого вначале найдем   z -форму G (z) переходной характеристики: G (z) = X (z)∙ H (z), где X (z) – z -преобразование входной последовательности:

                          ,

а H (z) определяется выражением (1).

Перемножив X (z) и H (z), найдем:

      .   

Полюсы   G (z): z _П1 = 1, z _П2 = b.

Переходную характеристику g (n) определим по методике, рассмотренной при решении задачи 7. В результате получим такой же результат:

                                        .

Задача 34. Используя формулы обратного z -преобразования (см. задачу 7), определите ДИХ БИХ-фильтра 2-го порядка с передаточной функцией:

                           

Решение. В соответствии с методикой, изложенной при решении задачи 7, найдем вначале функцию f (z):

            

Дискретная импульсная характеристика   h (n) определяется по выражению:

                                (1)

где z _П1 и z _П2 – корни f ₂'(z).

Выполнив операции в (1), получим:

                                                           (2)

Имея ввиду, что b ₁ = z _П1 + z _П2, заменим b ₁ в (2) суммой корней, и в результате получим:

                       

что в точности соответствует выражению (5.52), выведенному в главе 5 другим способом.

Задача 35. Определите передаточную функцию цифрового резонатора минимального порядка по следующим данным:

– резонансная частота f ₀ = 0,5 МГц,

– полоса пропускания P_0,7 = 25 кГц,

– резонансный коэффициент передачи H (f ₀) = 1,8,

– частота дискретизации f _Д = 4 МГц.

Решение. Заданный ЦФ реализуется БИХ-фильтром 2-го порядка с комплексно-сопряженными полюсами. Выразим координаты полюсов в полярной системе координат: z _П.1,2 = R _Пexp(± j F₀), где R _П и F₀ – соответственно, линейная и угловая координаты полюсов. Тогда выражение для передаточной функции ЦФ примет вид:

              .                            (1)

Рассматриваемому цифровому фильтру соответствует аналог-прототип с передаточной функцией:

                                                             

где w₀ = 2p f ₀, P_0,7 – полоса пропускания по уровню 0,7 в герцах. Функция A (s) определяет характер АЧХ вне полосы пропускания – в области нижних и верхних частот. В частности, A (s) может быть постоянной величиной, тогда АЧХ имеет ненулевые значения в области нижних частот. Мы будем рассматривать именно такой вид A (s):

                                                            (2)

Положим, что переход от аналога-прототипа к ЦФ осуществляется с применением метода согласованного z -преобразования (см. главу 6, подраздел 6.2).  Найдем полюсы передаточной функции (2). Очевидно, они должны быть комплексно-сопряженными, так как добротность фильтра высокая.

                     (3)

Приближенное равенство правомерно при высокой добротности фильтра.

В подразделе 6.3 показано, что при использовании согласованного z -пре­образования знаменатель передаточной функции (2) переходит в знаменатель цифрового фильтра в соответствии с выражением:

            

             

где T = 1/ f _Д, f _Д – частота дискретизации.

Сравнивая последнее выражение со знаменателем H (z) в (1), определим: 

                                 R _П = exp(–p∙P_0,7/ f _Д).                                     (4)

Найдем численные значения F₀ и R _П, удовлетворяющие условию задачи:

F₀ = 2p f ₀/ f _Д = 2p∙0,5 МГц/4 МГц = p/4,

R _П = exp(–p∙0,025 МГц/4 МГц) = 0,98.

Подставим эти значения в выражение (1):

                                                         (5)

Найдем значение масштабирующего множителя a ₀, исходя из условия, что резонансный коэффициент передачи должен равняться 1,8. Для этого  подставим  в  (5) z = exp(j F₀) и   найдем модуль комплексного  коэффициента передачи на резонансной частоте. Не приводя выкладок, запишем результат: для обеспечения H (f ₀) = 1,8 должно быть: a ₀ = 0,05.

Задача 36. Рассматривается трехкаскадный цифровой резонатор, все каскады которого идентичны и описываются передаточной функцией:

                           H (z) = 1/(1 +0,941 z ^{– 2}).                                       (1)

Частота настройки резонатора f ₀ = 465 кГц. Определите его полосу пропускания.

Решение. Найдем полюсы передаточной функции (1) и выразим их в полярных координатах:

                             

где F₀ = 2p f ₀/ f _Д, f _Д – частота дискретизации.

При использовании полярных координат передаточная функция БИХ-

фильтра 2-го порядка записывается в виде:

               H (z) = 1/(1 – 2 R _ПcosF₀∙ z ^{– 1} + R _П² ∙ z ^{– 2}).                         (2)

Сравнивая (2) и (1), определяем:

                      R _П² = 0,941, откуда R _П = 0,97;

                 2 R _ПcosF₀ = 0, откуда F₀ = p/2.

Полагая F₀ = p/2, из выражения F₀ = 2p f ₀/ f _Д определим f _Д: f _Д = 1,86 МГц.

Найдем выражение для полосы пропускания отдельного каскада, используя формулу (4) из предыдущей задачи:

                    P_0,7 = – (f _Д/p)ln R _П = 18 кГц.

Результирующая полоса пропускания n -каскадного устройства P_РЕЗ, составленного из идентичных каскадов, определяется выражением (см. также [11]):

                              .

Для n = 3 из последнего выражения определяем: P_РЕЗ = 0,51P_0,7 = = 9,2 кГц.

Задача 37. Определите ДИХ двухкаскадного ЦФ, структурная схема которого приведена на рис. П1.40.

Рис. П1.40. Структурная схема двухкаскадного ЦФ.

 

Решение. Представленный ЦФ является БИХ-фильтром 2-го порядка с последовательной структурной формой. При последовательной структуре коэффициенты, на которые умножаются задержанные отсчеты, равны значениям полюсов передаточной функции ЦФ, следовательно, z _П1 = 0,7 и z _П2 = 0,9. Как показано в главе 5, ДИХ фильтра с действительными полюсами определяется выражением (5.52), которое в нашем случае имеет вид:

              

График ДИХ показан на рис. П1.41.

Рис. П1.41. ДИХ, рассчитанная в задаче 37.

 

Задача 38. Постройте ДИХ ЦФ, нуль-полюсная диаграмма которого показана на рис. П1.42.

Рис. П1.42. Нуль-полюсная диаграмма ЦФ к задаче 38.

 

Решение. Нуль-полюсная диаграмма относится к КИХ-фильтру 4-го порядка,  так как количество особых точек – нулей равно четырем. В соответствии с рис. П1.42, нули имеют координаты: z _0.1,2 = ±1 и z _0.3,4 = = exp(± j p/2). Эти нули удобно отнести к двум КИХ-фильтрам 2-го порядка, включенным последовательно. Тогда передаточная функция ЦФ:

                              

Так как коэффициенты ДИХ КИХ-фильтра определяются коэффициентами H (z), то выражение для ДИХ   h (n) имеет вид:

                             h (n) = 1 ­­– d(n – 4).

График ДИХ приведен на рис. П1.43.

Рис. П1.43. ДИХ, рассчитанная в задаче 38.

 

Задача 39. ЦФ должен обеспечить резонанс на частоте f ₀ = 300 кГц при частоте дискретизации f _Д = 2,4 МГц. Для реализации этого фильтра используется передаточная функция вида:

                                                               (1)

Требуется определить значение коэффициента B.

Решение. Перейдем от заданной передаточной функции к стандартной форме:

                                           (2)

где R _П и F₀ – соответственно, линейная и угловая координаты полюсов. Значение  F₀   определяется  из  заданных значений f ₀ и f _Д: F₀ = = 2p f ₀/ f _Д = p/4.  Из  сопоставления  выражений   (1)   и   (2)   следует: a ₀ = = 1/1,6 =  0,625;   R _П² = 0,55, откуда R _П = 0,742; B /1,6 = 2 R _пcosF₀, следовательно, B = 1,679. После расчета всех коэффициентов запишем окончательное выражение для передаточной функции ЦФ:

                  

 

 

Задача 40. Биквадратный блок задан передаточной функцией:

                                                    (1)

а) Определите коэффициент передачи блока на резонансной частоте H (F₀).

б) Рассчитайте установившееся значение переходной характеристики g (n).

Решение.

Представим H (z) в виде:

где a₁ = 0,3636; a₂ = – 0,6364; b ₁ = 1,2728; b ₂ = – 0,81. Значение резонансной частоты определяют значения коэффициентов передаточной функции H ₂(z). Сопоставляя выражение для H ₂(z) с выражением (2) из задачи 39, найдем:

R _П² = – b ₂ =0,81, откуда R _П = 0,9; 2 R _пcosF₀ = b ₁ =1,2728, откуда F₀ = = arccos(b ₁/2 R _п) = p/4.

АЧХ биквадратного блока описывается выражением:

.            (2)

Подставив в (2) F =  F₀, а также значения коэффициентов  a _k и b_k, получим: H (F₀) = 9,76.

Расчет установившегося значения переходной характеристики g _уст значительно проще. По сути, значение g _уст численно равно коэффициенту передачи на нулевой частоте:

                        g _уст = H (0) = H (F)|_{F = 0}.

Поскольку при F = 0 имеем: z = 1, то на основании (1) получим:

         g _уст = H (0) = H (z)| _{z =1} =

Задача 41. Определите ДИХ ЦФ с передаточной функцией:

                        

Решение. Представим заданный ЦФ в виде каскадного включения двух фильтров:

          

ДИХ 1-го фильтра, равная h ₁(n) = bⁿ, является входным воздействием 2-го фильтра, реакция которого на это воздействие и будет искомой ДИХ h (n).

Опишем 2-й фильтр разностным уравнением:

                         y (n) = x (n) + a x (n – 1),

или в принятых обозначениях:

              h (n) = h ₁(n) + a h ₁(n – 1) = bⁿ + a b^{n – 1} = (1 + a/ b) bⁿ.

Важно  отметить,  что  полученное  выражение для h (n) справедливо для n ³ 1, поскольку при n = 0 должно быть: h ₁(n – 1) = 0. Если n = 0, то определение h (n) следует производить по выражению: h (0) = h ₁(0) = b ⁰ = = 1. Таким образом, окончательно получаем:

                      

Задача 42. Изобразите графики реакции цифрового синхронного накопителя (ЦСН) при N = 6, когда на его входе действует импульсная пачка с прямоугольной огибающей, содержащей: а) n = 4 импульса; б) n = 6 импульсов; в) n = 8 импульсов.

Решение. Графики реакции ЦСН приведены на рис. П1.44. Они построены в соответствии со структурной схемой накопителя (рис. П1.45), накапливающего N = 6 отсчетов. На схеме T – интервал дискретизации, на величину которого осуществляется задержка в каждом из обозначенных блоков задержки.

Рис. П1.44. Графики реакции ЦСН при разном числе n импульсов во входной пачке.

 

Рис. П1.45. Структурная схема ЦСН при N = 6.

 

Задача 43. Изобразите график дискретной импульсной характеристики h (n) цифрового фильтра, передаточная функция которого имеет вид:

                             

Решение. Преобразуем передаточную функцию ЦФ к виду:

          

Теперь ЦФ можно представить двумя каскадами. Дискретную импульсную характеристику h (n) двухкаскадного ЦФ определим как свертку  ДИХ 1-го каскада h ₁(n) и ДИХ 2-го каскада h ₂(n). В задаче 7 была показана однозначная  связь   z -формы 1/(1 + z ^{– 1}) и последовательности x (n) = (– 1) ⁿ. В нашем случае эта последовательность обозначена как h ₁(n). График h ₁(n) приведен на рис. П1.46а. Второй каскад является цифровым синхронным накопителем. Как было показано в подразделе 7.5, ДИХ синхронного накопителя представляет собой последовательность из N единичных отсчетов и определяется выражением:

                                 .

Для нашей задачи N = 5 и n _макс = N – 1 = 4. График h ₂(n) приведен на рис. П1.46б.

Рис. П1.46. Графики ДИХ к задаче 43: а) ДИХ 1-го каскада; б) ДИХ 2-го каскада; в) искомая ДИХ.

 

Запишем выражение для h (n):

      .

Найдем значения h (n). В процессе вычислений для каждого фиксированного n определяются значения сумм при изменении k и m в пределах 0 … n.

Запишем ряд последовательных значений  h (n).

h (0) = (– 1)⁰ ∙1 = 1,

h (1) = (– 1)∙1 + (– 1)⁰ ∙1= 0,

h (2) = (– 1)² ∙1 + (– 1)∙1 + (– 1)⁰ ∙1= 1,

h (3) = (– 1)³ ∙1 + (– 1)² ∙1 + (– 1)∙1 + (– 1)⁰ ∙1= 0,

h (4) = (– 1)⁴ ∙1 + (– 1)³ ∙1 + (– 1)² ∙1 + (– 1)∙1 + (– 1)⁰ ∙1= 1.

При n ≥ N, в нашем случае при n ≥ 5, значения h (n) определяются выражением:

    h (n) = (– 1) ⁿ ∙1 + (– 1) ^{n – 1} ∙1 + (– 1) ^{n – 2} ∙1 + (– 1) ^{n – 3}∙1 + (– 1) ^{n – 4} ∙1,

вычисления по которому дают значение (– 1) при   n нечетном или + 1 при n четном. График искомой ДИХ h (n) приведен на рис. П1.46в.

Задача 44. Цифровой полосовой фильтр спроектирован с использованием аппроксимации Баттерворта. Известны следующие параметры ЦФ:

- порядок ЦФ N = 25,

- резонансная частота f ₀ = 1 МГц,

- полоса пропускания P = 12 кГц,

- неравномерность АЧХ в полосе пропускания H _С = - 3 дБ,

- внеполосное затухание H _З = - 40 дБ.

Определите ширину переходной зоны АЧХ D f.

Решение. АЧХ цифрового полосового фильтра получается путем частотного преобразования АЧХ низкочастотного фильтра-прототипа Баттерворта (см. подраздел 6.3). Порядок фильтра-прототипа находится по формуле:

                                                    (1)

где H _З и H _С выражены в децибелах.

Рис. П1.47. К расчету ширины переходной зоны.

 

Искомое значение ширины переходной зоны (рис. П1.47) равно:

                                D f = f _З - f _С.                                                    (2)

Исходя из заданных параметров АЧХ ЦФ, граница полосы пропускания f _С равна: f _С = P/2 = 6 кГц. Для расчета величины f _З преобразуем (1) к виду:

                                                    (3)

Подставив в (3) числовые данные, получим: f _З/ f _С = 1,2, откуда f _З = 7,2 кГц и D f = 1,2 кГц.

Напомним, что любое частотное преобразование АЧХ ФНЧ-прототипа в АЧХ цифрового фильтра заданного типа является нелинейным, поэтому действительное значение ширины переходной зоны АЧХ ЦФ оказывается несколько меньше расчетного значения. Заметим также, что полученный результат не зависит ни от f ₀, ни от f _Д.

Задача 45. Рассматривается цифровой режекторный фильтр 2-го порядка, нули и полюсы передаточной функции которого определены так:

         z _П.1,2 = R _Пexp(± j F₀),    z _0.1,2 = exp(± j F₀).

Рис. П1.48. Фрагмент НПД режекторного ЦФ.

 

Фрагмент нуль-полюсной диаграммы приведен на рис. П1.48, где изображена верхняя часть круга единичного радиуса и, соответственно, один из полюсов и один из нулей. Нуль располагается на окружности единичного радиуса. Линейная координата полюса, отсчитываемая от центра круга, равна R _П; расстояние от окружности единичного радиуса до полюса равно 1 - R _П. Фильтр обеспечивает абсолютную режекцию на частоте f ₀ = 1 кГц при частоте дискретизации f _Д = 16 кГц.

Определите линейную координату полюса R _П, обеспечивающую полосу режекции    на уровне g = 0,5.

Решение. Методика решения подобных задач рассмотрена в подразделе 3.3 на примере ЦФ 2-го порядка с комплексно-сопряженными нулями и полюсами (рис. 3.12). Там же приведена формула для расчета АЧХ, которая в нашем случае, когда R ₀ = 1, принимает вид:

                                                     (1)

В (1) обозначено: DF - выраженная в цифровых частотах величина, равная половине полосы режекции: DF = 0,5(2p× / f _Д) = = p× / f _Д.

Полагая в (1) H (F) = g, для определения значения R _П получим следующее выражение:

                                                                 (2)

Поставив в (2) заданные числовые данные, найдем значение R _П: R _П= 0,995.

Задача 46. ЦФ рассчитывается методом билинейного z -преобразова­ния. При этом необходимо выполнить условие: АЧХ ЦФ должна воспроизводить АЧХ аналога-прототипа с абсолютной ошибкой не более 3%, другими словами, предыскажения АЧХ аналога-прототипа должны практически отсутствовать. Как это сделать?

Решение. Частотно-преобразующая функция описывается выражением:

                                      ,                                        (1)

где   f  – значения частотной шкалы аналога-прототипа, F – значения частотной шкалы цифрового БИХ-фильтра, f _Д –  частота дискретизации. В выражении (1) tg x можно заменить на x при малых x. Если потребовать, чтобы ошибка, возникающая при такой замене, не превышала 3%, то значения x должны удовлетворять неравенству: x ≤0,3. В нашем случае это неравенство имеет вид: p F / f _Д ≤0,3, откуда следует условие выбора частоты дискретизации: f _Д ≥ 10,5 F. Таким образом, нет необходимости в предыскажении АЧХ аналога-прототипа, если частота дискретизации превышает верхнюю границу рабочего диапазона частот ЦФ не менее чем в 10,5 раз.

Задача 47. Рассчитайте методом билинейного преобразования ЦФ нижних частот с частотой среза F _С = 1 кГц. Аналогом-прототипом является RC - фильтр с операторным коэффициентом передачи

                                                                                     (1)

где t_Ф = 1/(2p f _С), f _С – частота среза предыскаженного аналога прототипа. Частота дискретизации f _Д = 8 кГц.

Решение. Вначале определим частоту среза f _С  предыскаженного аналога-прототипа по выражению (6.49) из подраздела 6.2.4. Перепишем это выражение в виде:

                     

Найдем постоянную времени предыскаженного аналога-прототипа:

                          

В соответствии с методом билинейного преобразования введем в выражение (1) подстановку:

                                      

После преобразований получим:

                                 

где a ₀ = 1/(1 +2 f _Дt_Ф) = 0,29; b = (2 f _Дt_Ф – 1)/(1 +2 f _Дt_Ф) = 0,41. Таким образом, передаточная функция содержит один нуль z ₀ = – 1  и один полюс z _П = 0,41.

Для примера приведем результаты расчета заданного ЦФ при использовании метода согласованного z -преобразования. В этом случае аналог-прототип не подвергается операции предыскажения и его частота среза должна быть в точности равна частоте среза искомого ЦФ: f _{С. СОГЛ.} = F _С = = 1 кГц.При этом   полюс прототипа имеет координаты: s _П = – 2p f _{С. СОГЛ.}= – 2p·10³ с^{– 1}. Ему соответствует в цифровой области полюс:

              z _П = exp(s _П/ f _Д) = exp(– 2p·10³/8·10³) = 0,46.

Таким образом, расположение полюса здесь близко к тому, что получилось при использовании метода билинейного преобразования. Это не удивительно, так как частота дискретизации выбрана намного больше частоты среза фильтра. Отметим, что при использовании метода билинейного преобразования в передаточной функции присутствует не только полюс, но и нуль, расположенный на правой границе интервала Найквиста при F = p. Как указывалось в главе 6, наличие такого нуля является следствием частотного преобразования (6.49).

Задача 48. Найдите аналог-прототип для ЦФ с передаточной функцией:

                                      

 

Решение. Заданный ЦФ имеет один действительный полюс z _П = – 0,8. Используя базовое соотношение z = exp(sT), определим полюс аналога-прототипа по известному значению полюса z _П:   s _П = (1/ T)ln z _П. Так как логарифм от отрицательного числа не существует, то аналога-прототипа для ЦФ с заданной передаточной функцией нет.

Задача 49. Рассчитайте методом взвешивания полосовой КИХ-фильтр с линейной ФЧХ по следующим исходным данным:

– Центральная частота   f ₀ = 60 кГц.

– Полоса пропускания P = 12 кГц.

– Ширина переходных зон АЧХ  D f = 4 кГц ± 1 кГц.

– Внеполосное затухание L = - 50 дБ ± 3 дБ.

– Рабочий диапазон частот f _Р = 0... 100 кГц.

Решение. Исходя из требования обеспечения минимального значения D f, установим минимально допустимое значение f _Д: f _Д = 2 f _{Р. МАКС} = 200 кГц. Для обеспечения нужных значений L и D f выберем "окно" Хэмминга (7.55), имея ввиду, что реально внеполосное затухание оказывается больше, чем указанное в табл. 7.1 значение d _W = - 41 дБ, а ширина переходной зоны оказывается меньше, чем ширина главного лепестка АЧХ окна D _W = 8p/ N.

Найдем порядок N КИХ-фильтра. Воспользуемся формулой (7.58). В соответствии с табл. 7.1, значение a в этой формуле для выбранного окна Хэмминга равно 8. Таким образом, для расчета N получаем выражение: N = 4 f _Д/D f. После подстановки числовых значений определяем: N = = 200.

Для реализации полосового КИХ-фильтра с линейной ФЧХ наиболее приемлемой является антисимметричная ДИХ с нечетным числом отсчетов (см. подраздел 7.1.4). Для обеспечения нечетного числа отсчетов скорректируем значение N: N = 201.

Перейдем к отысканию выражения для ДИХ. Воспользуемся формулой (7.40), из которой, в соответствии с разъяснениями, данными в подразделе 7.2, исключим множитель j. Зададимся прямоугольной формой АЧХ. Тогда выражение для определения ДИХ примет вид:

                      

где a = (N - 1)/2 = 100, а граничные частоты  полосы пропускания F₁  и F₂ равны:

    

Заменив пределы интегрирования числовыми значениями, получим:

         

Если подставить в формулу (7.28) найденное выражение для ДИХ, то можно вычислить АЧХ искомого полосового фильтра. Как показано в подразделе 7.3, в АЧХ при этом появляются пульсации. Для уменьшения пульсаций заменим найденную ДИХ h (n) на "взвешенную" , для чего перемножим отсчеты h (n) с отсчетами w (n) "окна" Хэмминга:

     

Полученное выражение для  подставим в формулу (7.28) для расчета реальной АЧХ  График АЧХ в логарифмическом масштабе изображен на рис. П1.49.

Рис. П1.49. АЧХ ЦФ, рассчитанного в задаче 49.

 

Сравним полученные на рис. П1.49 параметры АЧХ с заданными значениями в условии задачи. Полоса пропускания P по уровню -3 дБ  соответствует заданной. Ширина переходной зоны D f, отсчитываемая от границы полосы пропускания до первого нуля главного лепестка, равна, в соответствии с рис. П1.49, 3,3 кГц. Заданное значение D f равно (4 ± 1) кГц. Таким образом, этот показатель удовлетворяет условию задачи. Значение внеполосного затухания L, определяемое по уровню первого бокового лепестка, в приведенной на рис. П1.49 АЧХ равно -56 дБ, что несколько больше заданного. Однако при таком значении L качество фильтрации улучшается. Полученные результаты показывают, что корректировка расчета фильтра не требуется.