Решение
Для расчета теоретических частот вычислим нормированные величины ui; ui+1:
1 интервал: -∞; ;
2 интервал: -1,80; ;
3 интервал: -0,91; ;
4 интервал: -0,03; ;
5 интервал: 0,86; ;
6 интервал: 1,74; ∞.
Таблица 7
№ | Границы интервалов хi; хi+1 | Границы интервалов ui; ui+1 | ||||
-∞; 500 | -∞; -1,80 | 0,0360 | 0,0360 | 28,18 | ||
500; 1000 | -1,80; -0,91 | 0,0360 | 0,1814 | 0,1454 | 113,85 | |
1000; 1500 | -0,91; -0,03 | 0,1814 | 0,4881 | 0,3067 | 240,15 | |
1500; 2000 | -0,03; 0,86 | 0,4881 | 0,8051 | 0,3170 | 248,21 | |
2000; 2500 | 0,86; 1,74 | 0,8051 | 0,9591 | 0,1540 | 120,58 | |
2500; ∞ | 1,74; ∞ | 0,9591 | 0,0409 | 32,02 | ||
Итого | - | - | - |
Наглядно расхождение эмпирических и теоретических частот можно показать с помощью полигона (рис. 3).
Рисунок 2. Полигон теоретических и эмпирических частот
3 этап: проверка гипотезы о законе распределения.
Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Закономерно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа на данный вопрос служат критерии согласия.
|
|
Пусть необходимо проверить нулевую гипотезу H0 о том, что исследуемая случайная величина X подчиняется определенному закону распределения. Для проверки гипотезы H0 выбирают некоторую случайную величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, закон распределения которой при достаточно больших n известен и практически не зависит от закона распределения случайной величины X.
Зная закон распределения U, можно найти вероятность того, что U приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемое в опыте u, т.е. . Если мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие как в опыте, и бóльшие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу H0 отвергают. Если же вероятность не мала, расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями несущественно и гипотезу H0 можно считать не противоречащей опытным данным.
Наиболее часто в практике статистических исследований используются критерии согласия К. Пирсона (хи-квадрат), В.И. Романовского, А.Н. Колмогорова, Б.С. Ястремского.
В χ2-критерий Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина χ2, равная:
,
которая имеет χ2-распределение с степенями свободы, где m – число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда); r – число параметров теоретического распределения.
Схема применения χ2-критерия для проверки гипотезы H0 сводится к следующему:
|
|
1) определяется мера расхождения эмпирических и теоретических часто χ2;
2) для заданного уровня значимости α (как правило, принимается на уровне 0,05 или 0,01) по справочной таблице χ2-распределения находят критическое значение при числе степеней свободы ;
3) если расчетное значение χ2 больше критического , т.е. , то гипотеза H0 отвергается, если , то гипотеза H0 не противоречит опытным данным.
Примечание: статистика χ2 имеет χ2-распределение лишь при , поэтому необходимо, чтобы в каждом интервале было достаточное количество наблюдений, по крайней мере, не меньше 5. Если какой-либо интервал не удовлетворяет данному требованию, то имеет смысл объединить его с соседним таким образом, чтобы в объединенных интервалах . В данном случае параметр m при расчете числа степеней свободы уменьшается на число таких объединенных интервалов.
На практике кроме критерия χ2 часто используют критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической и теоретической функциями распределения:
,
называемое статистикой критерия Колмогорова.
Схема применения критерия Колмогорова:
1) строятся эмпирическая функция распределения и предполагаемая теоретическая;
2) определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением D и вычисляется величина:
;
3) если вычисленное значение λ окажется не больше критического λα, определенного на уровне значимости α (λ0,05 =1,36; λ0,01 =1,63), то нулевая гипотеза H0 не противоречит опытным данным.
Примечание: применение критерия Колмогорова в принципе возможно лишь тогда, когда теоретическая функция распределения задана полностью. Однако такие случаи в практике встречаются редко. Обычно из теоретических соображений известен лишь вид функции распределения, а ее параметры определяются по эмпирическим данным. При применении критерия χ2 это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа степеней свободы. Такого рода поправок в критерии Колмогорова не предусмотрено. Поэтому, если при неизвестных значениях параметров применить критерий Колмогорова, взяв за значения параметров их оценки, вычисленные по выборке, то получим завышенное значение вероятности , и, следовательно, бóльшее критическое значение λα. В результате есть риск в ряде случаев принять нулевую гипотезу H0 о законе распределения случайной величины как правдоподобную, в то время как на самом деле она противоречит опытным данным.
Пример 7.7. По данным примеров 7.3 и 7.5 на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу H0 о том, что случайная величина Х – число поврежденных изделий, распределена по закону Пуассона.
Для определения статистики χ2 составим таблицу: