Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Плоскостью действия пары сил называется плоскость в которой расположены эти силы.
Плечом пары сил d называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.
Моментом пары сил называется вектор , модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия сил пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки.
Рис. 4.1
Теорема о сумме моментов пары сил. Сумма моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора этой точки и равна моменту этой пары сил.
Доказательство: Выберем произвольно точку О. Проведем из нее в точки А и В радиус-векторы (Смотри Рис. 4.2).
,
Что и требовалось доказать.
Рис. 4.2
Две пары сил называются эквивалентными, если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях.
|
|
Теорема об эквивалентности пар сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.
Доказательство: Пусть на твердое тело действует пара сил .
Перенесем силу в точку , а силу в точку . Проведем через точки две любые параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары. Соединим точки отрезком прямой и разложим силы в точке и в точке по правилу параллелограмма.
Так как , то
и
Поэтому эквивалентна системе , а эта система эквивалентна системе , так как эквивалентна нулю.
Таким образом мы заданную пару сил заменили другой парой сил . Докажем, что моменты у этих пар сил одинаковы.
Момент исходной пары сил численно равен площади параллелограмма , а момент пары сил численно равен площади параллелограмма . Но площади этих параллелограммов равны, так как площадь треугольника равна площади треугольника .
Что и требовалось доказать.
Выводы:
1. Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.
2. У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.
Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость. Действие пары сил на твердое тело не изменится от переноса этой пары в параллельную плоскость.
Доказательство: Пусть на твердое тело действует пара сил в плоскости . Из точек приложения сил А и В опустим перпендикуляры на плоскость и в точках их пересечения с плоскостью приложим две системы сил и , каждая из которых эквивалентна нулю.
|
|
Сложим две равные и параллельные силы и . Их равнодействующая параллель-на этим силам, равна их сумме и приложена посредине отрезка в точке О.
Сложим две равные и параллельные силы и . Их равнодействующая параллель-на этим силам, равна их сумме и приложена посредине отрезка в точке О.
Так как , то система сил эквивалентна нулю и ее можно отбросить.
Таким образом пара сил эквивалентна паре сил , но лежит в другой, параллельной плоскости. Что и требовалось доказать.
Следствие: Момент пары сил, действующий на твердое тело, есть свободный вектор.
Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению моменты.
Теорема о сложении пар сил. Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Доказательство: Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях. Пара сил в плоскости характеризуется моментом , а пара сил в плоскости характеризуется моментом .
Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы, приложенные в точке А и в точке В, . Получаем пару сил .
Что и требовалось доказать.