Дискретная модель дожития

Функция дожития. Статистические данные оперируют с целочисленными значениями возраста. В связи с этим целесообразно рассмотреть дискретную модель с целочисленными значениями возраста. Чтобы отличить дискретное представление от непрерывного будем показывать значения возраста в подстрочном индексе. Так, значение функции дожития в возрасте t будем обозначать V _t, t = 0, 1, 2, ….

Примем за единицу число родившихся: V ₀ = 1. Повозрастную смертность m_t определим следующим образом. Если в качестве возраста на момент смерти фиксируется число исполнившихся лет, то при определении смертности в возрастном диапазоне от t до t + 1 в качестве значения возраста принимается t. В таком случае повозрастная смертность определяется равенством

Отсюда следует рекуррентное представление функции дожития через значения повозрастной смертности

V _{t + 1} = V _t · (1 – m_t), t = 0, 1, 2, ….

Вместе с условием V ₀ = 1 это приводит к явному выражению функции дожития

Ожидаемая продолжительность жизни. Доля умирающих в возрастном интервале между t и t + 1 равна V _t – V _{t + 1}. Если принять их возраст в момент смерти равным t, то получим следующее выражение для ожидаемой продолжительности жизни:

(1)

Преобразуем это выражение

Так как при t = 0 соответствующее слагаемое в первой сумме обращается в нуль, нижний предел в обеих суммах можно положить равным 1, так что

или

(2)

Выше было высказано допущение, что возраст умирающих в диапазоне от t до t + 1 равен t; в действительности он некоторым образом распределен между t и t + 1, так что более реалистической оценкой будет значение t + ½. Заметим, что в соответствии с равенством (1) величина представляет собой среднее арифметическое из значений t, взвешенное по доле умерших в каждом возрастном диапазоне. Поэтому равенство модифицируется следующим образом:

(3)

Отметим, что, поскольку V ₀ = 1, равенство (3) соответствует численному интегрированию функции V (t), заданной в целочисленных точках, методом трапеций.