Доля трудоспособного населения

Рассматривается доля населения в трудоспособных возрастах. Границы этого возрастного диапазона обозначим t₀ и t₁. Будем считать, что население стабильно и что его численность возрастает с инкрементом b. Тогда возрастная структура населения описывается равенством

j(t) = CV (t) e ^–bt,

где C — нормирующий коэффициент, V (t) — функция дожития до возраста t. В таком случае доля L трудоспособного населения в его численности равна

.

Рассматривая ее как функцию темпа роста, можно поставить задачу определения «оптимального» темпа роста — в смысле максимизации доли населения трудоспособных возрастов:

L

Частный случай: модель нестареющего населения. Простое аналитическое решение получается в случае модели нестареющего населения: повозрастная смертность m(t) = m = const — не зависит от возраста, V (t) = e ^–mt. Для этой модели получаем:

L =

где n = m + b (общая рождаемость — особенность данного частного случая, не обобщается!). Если значение m зафиксировано, то максимизация L по b эквивалентна максимизации по n. Имеем:

= 0.

Обозначим t₁ = k t₀, z =. Тогда условие максимума имеет вид z – kz^k = 0, или kz^{k– 1}= 1, откуда ln k + (1 – k)ln z = 0. Так как ln z = – nt₀, получаем

n =

или, окончательно,

b =.

Пусть, например, m = 0.0125, что соответствует средней продолжительности жизни, равной 80 годам, а трудоспособный возраст — от 20 до 60 лет. Тогда оптимальная рождаемость равна n = 0.0275 г ^–1, оптимальный темп роста равен b = 0.0150 г ^–1. При m = 0.0143, чему соответствует средняя продолжительность жизни 70 лет, оптимальный темп роста равен b = 0.0132 г ^–1.

Замечание: в данной модели оптимальная рождаемость зависит только от границ трудоспособного возраста!

Таблица 1.