Линейные и нелинейные системы

Стационарные и нестационарные системы

Система называется стационарной, если закон преобразования системы остается неизменным для любого момента времени.

Система называется нестационарной, если закон преобразования сигналов системой в общем случае меняется с изменением времени.

Частным, но чрезвычайно важным для практики случаем вышеприведенных зависимостей являются линейные зависимости, т.е. когда для получения значения выхода осуществляются лишь линейные операции умножения на постоянный множитель и суммирование.

В этом случае линейная стационарная статическая система осуществляет преобразование по формуле:

,

где W – постоянный коэффициент.

Линейная стационарная дискретная динамическая система осуществляет преобразование в соответствии с формулой:

т.е. значение выхода в момент времени кТ равно сумме всех предыдущих значений входа, причем каждое слагаемое в этой сумме берется с определенным «весом», определяемым величиной коэффициентов W_j.. Соответственно непрерывная линейная стационарная система (рис. 1 – 5) осуществляет преобразования по формуле:

;

т.е. для определения значения выхода в момент времени t необходимо просуммировать все предыдущие значения входа с «весами», определяемыми функцией W(x) (функция веса).

Другой употребляемой формой записи законов преобразования сигнала динамическими системами является запись в виде уравнений: разностных для дискретных систем и дифференциальных – для непрерывных.

Так, линейная динамическая стационарная дискретная система может быть охарактеризована линейным разностным уравнением с постоянным коэффициентом:

где Dⁱy(kT) и Dⁱx(kT) – i-я разность дискретной последовательности y(kT) и x(kT) для момента времени kT.

Непрерывная система описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

Важным свойством линейных систем является применимость к ним принципа наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом. Реакция линейной системы на сумму воздействия равна сумме реакций на каждое из этих воздействий, взятых по отдельности.

Отсюда вытекает два важных следствия:

1. Линейная система с l входами (рис. 1 – 6) может рассматриваться как l систем с одним выходом.

Рис. 1 – 6

2. Для полного описания характера преобразований, осуществляемых линейной системой, достаточно знать лишь реакцию этой системы на одно какое-нибудь входное воздействие. Зная ее, можно затем найти реакцию системы на любое другое воздействие, даже если уравнение системы остается неизвестным.

Реакция линейной системы на некоторое выбранное типовое воздействие называется динамической характеристикой системы.

Практически очень важно, что динамическая характеристика может быть получена экспериментальным путем, т.к. сложность внутренней структуры большинства объектов практически исключает полное изучение его аналитическим путем.

Системы, не подчиняющиеся суперпозиции, называются нелинейными. Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.