2014-02-17
1609
Детерминированные и вероятностные системы
Система называется детерминированной, если можно точно указать характер осуществляемых ею преобразований сигналов для любого момента времени как в прошлом, так и в будущем.
В противном случае система называется случайной (вероятностной), причем характер преобразования сигналов системой может быть предсказан в вероятном смысле. Это значит, что можно сделать более или менее долгосрочный прогноз о возможных вариантах законов преобразования системы в будущем и указать вероятность появления каждого из них.
Как правило, случайный характер преобразования сигналов физической системы объясняется следующим:
а) случайным, непредвиденным заранее изменением физических и химических констант системы (старение, шлакование поверхностей нагрева и т.д.), которые приводят к изменению коэффициентов динамического уравнения системы;
б) практическая невозможность учета всех входных воздействий, возникающих в условиях реальной работы системы.
Реальные системы автоматического управления, как правило, являются нелинейными вероятностными системами, к которым в обычном виде не применим математический аппарат линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако в ряде практически важных случаев динамические свойства систем управления могут быть приближенно описаны линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, что позволяет с большей или меньшей точностью решать задачи анализа или синтеза, полагая, что они являются детерминированными. Необходимым условием этого является возможность линеаризации статических и динамических характеристик нелинейных систем.
Статическими характеристиками называются зависимости между входными и выходными величинами, характеризующие равновесное состояние того или иного процесса, т.е. такое состояние, когда входные и выходные величины не меняются во времени. Как уже отмечалось, реальные статические характеристики системы управления, строго говоря, являются нелинейными. Следовательно, значение выходной величины стационарной детерминированной статической системы в любой момент времени связаны нелинейной зависимостью со значениями входных воздействий в тот же момент времени:
. (1-1)
Однако при выполнении некоторых условий, нелинейную зависимость (1-1) можно приближенно заменить линейной, что существенно облегчает и упрощает исследование систем автоматического управления.
Предположим, что исходным значениям при исследовании АСУ соответствуют входные воздействия x1(t), x2(t),…xn(t), отклонения которых от номинального режима x10(t), x20(t),…xn0(t) незначительны, а функция (1-1) в окрестности этого режима непрерывна. Тогда выходная величина системы – y(t) будет также иметь отклонения в малой окрестности от начального состояния Y0(t), соответствующего начальным значениям входов:
.
При этом, в силу непрерывности функции (1-1) последняя может быть представлена в окрестности точки Y0(t) рядом Тейлора:
, (1-2)
причем, т.к. отклонения входных воздействий малы, приращениями выше первого порядка можно пренебречь. В результате этого исходная нелинейная зависимость (1-1) аппроксимируется приближенной линейной зависимостью вида:
(1-3)
или, записанная в приращениях к исходному режиму:
.
Здесь коэффициенты k будут равны частным производным от y по соответствующим x и называться коэффициентами передачи (коэффициентами усиления) системы по соответствующим каналам передачи воздействия:
x1=x10 x1=x10 x1=x10
… … …
… … … (1-4)
xn=xn0 xn=xn0 xn=xn0
Изложенная операция замены нелинейной функциональной зависимости приближенной линейной зависимостью называется линеаризацией функций.
На рис. 1 – 7 представлена замена графика действительной нелинейной функциональной зависимости между входом и выходом для системы с одним входом x(t) линейной зависимостью, характеризуемой касательной, проведенной к этому графику в точке исходных значений.
На основании вышеизложенного необходимо отметить следующие особенности линеаризованных зависимостей.
1. Без указания исходного режима, в окрестности которого произведена линеаризация, приближенное линейное уравнение не имеет смысла.
2. Линеаризация нелинейной зависимости приближенной линейной может быть осуществлена только для непрерывных функций.
3. При изменении исходного режима коэффициенты передачи линеаризованной зависимости могут менять свою величину, так как меняется угол наклона касательной к графику линеаризуемой функции.
