Частные производные. Графиком функции является параболоид вращения в

Пример.

Графиком функции является параболоид вращения в .

Рассмотрим функцию двух переменных . Пусть функция определена в , где и . Частной производной по от функции в точке называется предел (если он существует и конечен)

(1)

Аналогично определяется частная производная по :

(2)

Частные производные, определяемые формулами (1), (2), называют частными производными первого порядка.

Замечание 1. Аналогично определяется производная по переменной и для функции переменных

Замечание 2. Для обозначения частных производных по приняты также записи:

Точно такие же обозначения используются для частных производных по остальным переменным.

Замечание 3. Из определения следует, что частные производные по любой переменной вычисляются при условии, что остальные переменные постоянны. Поэтому при вычислении частных производных справедливы все правила и табличные формулы дифференцирования функций одной переменной.

Еще раз повторим важное правило:

При вычислении частной производной по какой-то переменной остальные переменные следует считать константами.

Пример. Пусть

Определение. Частными производными второго порядка функции называют частные производные от ее частных производных первого порядка: