Пусть линейное пространство над множеством действительных чисел
Определение 1. Пространство называется евклидовым пространством, если в нем для любой пары векторов и определено число называемое скалярным произведением и, удовлетворяющее следующим свойствам:
1. П.О. 2. С. 3. Л.
(здесь произвольные векторы, произвольные числа).
Например, обычное скалярное произведение в геометрическом пространстве трехмерных векторов удовлетворяют свойствам 1-3, поэтому - евклидово пространство. Очевидно, что пространство (мерных векторов-столбцов) также является евклидовым пространством со скалярным произведением
также является евклидовым пространством. Обычно евклидовы пространства обозначают буквой и мы будем пользоваться этим обозначением.
Если линейное пространство над множеством комплексных чисел и если в нем введено скалярное произведение удовлетворяющее аксиоме 1 и аксиомам
то пространство называется унитарным пространством (здесь черта вверху означает комплексное сопряжение:). Мы будем рассматривать в основном евклидовы пространства. Однако все приводимые ниже понятия и утверждения почти дословно переносятся и на унитарные пространства.
|
|
Определение 2. Два вектора называются ортогональными, если
Имеет место следующее утверждение: любая система попарно ортогональных векторов в линейно независима. Действительно, пусть. Умножая это равенство скалярно на будем иметь
Таким образом, равенство выполняется тогда и только тогда, когда все числа одновременно равны нулю. Это означает, что векторы линейно независимы.
Определение 3. Базиспространства называется ортонормированным, если
Например, базис в пространстве является ортонормированным.
Введем теперь в рассмотрение понятие метрического пространства.
Определение 4. Линейное пространство называется метрическим пространством, если в нем для любых векторов и определено число называемое расстоянием между и (или метрикой в), обладающее следующими свойствами:
4. П.О. 5. С. 6. Т.
( произвольные векторы из пространства ).
Любое евклидово пространство является одновременно и метрическим пространством с метрикой (проверьте выполнение свойств 4-6). Заметим, что число называется длиной (или нормой) вектора Так что в евклидовом пространстве
В любом евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского:
Отсюда следует, что имеет смысл называемое косинусом угла между векторами и
Теорема 1. В любом евклидовом пространстве размерности существует ортонормированный базис. Координаты вектора в этом базисе имеют вид
Доказательство первой части этой теоремы проводить не будем. Перейдем ко второй части. Имеем. Умножая скалярно это равенство на будем иметь
|
|
Теорема доказана.
Введем следующее важное понятие.
Определение 5. Оператор действующий в унитарном (в частности, в евклидовом) пространстве называется сопряженным к оператору если для всех
имеет место равенство Обозначение:
Теорема 2. В любом ортонормированном базисе унитарного пространства матрица оператора является сопряженной по отношению к матрице оператора т.е. если матрица оператора то матрицей оператора будет матрица
И, наконец, заметим, что квадратная матрица называется симметрической, т.е. Нетрудно показать, что все собственные значения симметрической матрицы действительны; при этом и отвечающие им собственные векторы также можно выбрать действительными.