Свойства вероятностей

1. Р (Æ) = 0.

Так как события Æ и W несовместны, то согласно аксиоме 3

Р (W)+ Р (Æ)= Р (W),

и по аксиоме 2 получаем требуемое.

2. Р (Ā)=1 - Р (A).

Поскольку W = A È Ā и A, Ā несовместные события, то по аксиоме 3 получаем

1 = Р (W) = Р (A È Ā) = Р (A) + Р (Ā).

3. Если АÍ В, то Р (В \ A) = Р (В) - Р (A).

Пусть В \ А == С, тогда С Ç А= Æ и С È А= В. Отсюда согласно аксиоме 3 получим

Р (В) = Р (С) + Р (А).

4. Если А Í В, то Р (А) £ Р (В).

Из свойства 3 следует, что Р (В) — Р (А) = Р (В \ А) ³ 0. Отсюда получаем требуемое.

5. Для любого события А из F имеет место 0 £ Р (A) £ 1.

Поскольку A Í W, то согласно свойству 4 Р (A) £ Р (W). Следовательно Р (A) £ 1.

6. Для произвольных событий А и В из F имеет место равенство

Р (A È В) = Р (A) + Р (В) - Р (A Ç В).

Эта формула называется формулой сложения вероятностей для двух произвольных событий.

Пусть В \ А = С, тогда С Ç А = Æ. Отсюда A È В = A È С и по аксиоме 3 и свойству 3

Р(A È В)=Р(A È С) =Р(A)+Р(С) =

Р(A) + Р(В \ A) = Р(A) + Р(B) - Р(A Ç В) ,

поскольку В \ А = В \ (A Ç В) и A Ç В Ì В.

7. Для произвольных событий А и В из F имеет место

P (A È B) £ Р( А) + Р (В).

Это свойство является очевидным следствием свойства 6.

Приведем без доказательств еще три свойства (доказательств этих свойств можно найти в [1]).

8. Для последовательности событий . .., … справедливо

9. Если , ,…. — последовательность событий, то имеет место следующее неравенство:

10. Лемма непрерывности. Пусть имеется последовательность событий (т.е. убывающая последовательность). Обозначим через А пересечение всех: .

Тогда имеет место следующее равенство

.