ДУ – это уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию y=f(x)
и ее производные y’, y’’ и т.д.
ОДУ содержит одну независимую переменную.
ДУ в частных производных:
y = f (x,t),
Порядок ДУ – порядок старшей производной, входящей в состав уравнения.
Решением ДУ называется всякая функция y = f(x), которая, будучи подставленной в ДУ, превращает его в тождество.
y’ = f (x,y) – ДУ, разрешенное относительно производной.
Теорема о единственности решения: если в уравнении y’ = f (x,y) функция f (x,y) и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости (0,x,y), содержащей некоторую точку то существует единственное решение этого уравнения y = Ф(x), удовлетворяющее условию:.
Геометрический смысл – существует график y = f(x), проходящий через точку;
– начальные условия.
Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция, которая зависит от одной производной постоянной С и удовлетворяет следующим условиям:
1) Функция является решением ДУ при любом значении С.
|
|
2) Каковы бы ни были начальные условия, можно найти такое, что, удовлетворяющие данному условию.
Бывает, что решение найдено в виде Ф(x, y, C) = 0 (т.е. не разрешено относительно (y)), такое решение называется общим интегралом ДУ.
Частным решением ДУ называется любая функция, которая получается из общего решения при определенном значении.
Решить ДУ значит:
1) Найти общее решение
2) Найти частное решение, которое удовлетворяет заданным н.у. (если они не заданы – то этот пункт пропускают)
Функция f (x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных x и y, если при любом λ и справедливости, справедливо следующее:
ДУ первого порядка называется однородным относительно x и y, если f (x, y) – есть однородная функция нулевого измерения относительно x, y, то есть;
Линейное уравнение 1-го порядка – уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной
P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции или некоторые постоянные.
Теорема:
Вторые разности:
Аналогично разность производных:
Вторые разности производных:
Нахождение значения функции по принципу разложения в ряд Тейлора:
Полевая задача возникает при рассмотрении магнитной подсистемы в процессе моделирования электромагнитных преобразователей.
Существуют некоторые допущения: в большинстве случаев магнитное поле стационарное и ассиметричное. Это описывает ДУ второго порядка в частных производных.
Основное уравнение для описания магнитного поля (Пуассона)
А – вектор магнитного потенциала через оператор набла:
|
|
Существует 2 основных метода решения полевой задачи
Метод конечных разностей:
1 этап) на плоскости в области А, в которой ищутся решения, строится область
состоит из ячеек с одним размером и является приближенным отражением области А.
2 этап) Заданное ДУ в частных производных заменяется в узлах соответствующим конечно-разностным уравнением.
3 этап) С учетом граничных условий устанавливается значение искомого решения в граничных узлах области.
U – функция двух переменных.
От ДУ в частных производных переходят к линейному уравнению.
Для уравнения Пуассона используется разложение в ряд Тейлора в окрестности точки (x;y) вектора магнитного потенциала
Необходимое значение т.к. в узлах
Таблица конечных разностей (экстраполяция)
x | U=x³ | D | D² | D³ |
*Трудоёмкий метод