Взаимно-однозначное отображение множества N = (1, 2,..., n) на себя называется подстановкой п чисел (или подстановкой п -й степени). Обычно принято записывать подстановку двумя строками, заключенными в скобки. Первая строка содержит аргументы (первые координаты) подстановки, а вторая — соответствующие им образы (вторые координаты). Например, взаимно-однозначное соответствие четырех чисел, заданное множеством упорядоченных пар {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1)} запишется как подстановка а четвертой степени
в которой 1 переходит в 2, 2 – в 4, 3 - в3 и 4 - в 1.
Так как безразлично, в каком порядке следуют упорядоченные пары отображения, то одна и та же подстановка допускает различные представления:
Каждая строка в записи подстановки п -й степени содержит п различных чисел, расположенных в определенном порядке, т. е. представляет собой некоторую перестановку п чисел 1, 2,..., п. Если обозначить i- е элементы перестановок через и, причем то подстановку п -й степени можно представить как
Поскольку число всех перестановок из п чисел равно п!, то число всех различных перестановок п -й степени, как и число всевозможных способов записи любой из таких подстановок, также равно п!
|
|
Тождественная подстановка п- й степени eп переводит каждое число в себя. Очевидно, одной из записей eп является следующая:
Если в подстановке а поменяем местами ее перестановки, то получим подстановку а -1, симметричную а. Например:
Композицией подстановок п -й степени а и b называется подстановка п -й степени с=ab, являющаяся результатом последовательного выполнения сначала а, затем b. Например:
т.к. 1 переходит в 2, а 2 –в 4, т.e. в результате 1 переходит в 4 и т.д.
Очевидно, если а - подстановка п -й степени, то:
два числа в перестановкеобразуют инверсию, когда меньшее из них расположено правее большего. Подстановка называется четной, если общее число инверсий в ее строках (перестановках) четно, и нечетной - в противном случае. Каждой перестановке можно сопоставить число инверсий в ней, которое подсчитывается следующим образом: для каждого из чисел определяется количество стоящих правее его меньших чисел, и полученные результаты складываются. Например, подстановка
нечетная, т.к. число инверсий в верхней перестановке 3+1+2+0+0+0=6 и в нижней перестановке 4+2+0+1+0+0=7, т.е. общее число инверсий 6+7=13.
Всякую подстановку можно разложить в произведение циклов, множества элементов которых попарно не пересекаются. Цикл - это такая подстановка
=
которая переводит в, в ,..., в и в, аостальные элементы переходят в самих себя. Сокращенная запись цикла сводится к перечислению множества элементов, которые циклически переходят друг в друга, а количество этих элементов k определяет длину (порядок) цикла. Так,
|
|
= (1, 4, 5)(2, 3)(6)
Цикл длины 1 представляет собой тождественную подстановку и часто не записывается. Подстановка, все п элементов которой образуют цикл, называется круговой или циклической. Цикл длины 2 называют транспозицией (это подстановка, переставляющая только два элемента). Всякая подстановка представляется произведением транспозиций, например:
Заметим, что подобное разложение может содержать циклы с общими элементами и при этом оно не является единственным. В то же время разложение подстановки на независимые циклы (без общих элементов) всегда можно осуществить только единственным способом.
Наглядное представление о подстановках дают их графы, построенные на множестве п вершин, соответствующих числам 1,2,.... п. На рис. 3.2а показаны графы подстановок а (сплошными линиями) и b (штриховыми) и на рис. 3.2б - граф их композиции с=ab:
а) | б) |
Рис. 3.2. Графы подстановок (а) и композиции подстановок (б)
Циклам подстановок соответствуют простые циклы графа (циклы длины 1 изображаются петлями), причем граф состоит исключительно из таких циклов. Композиция подстановок на рис. 3.2б содержит только один цикл, которому соответствует единственный цикл графа, т. е. является циклической.