Другим важным примером бесконечного несчетного множества является множество вещественных чисел R. Дадим одно из возможных определений вещественного числа с помощью сечений Дедекинда.
Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два непустых подмножества А и В. Будем называть это разбиение сечением и обозначать А|В, если выполняются условия:
10. Каждое рациональное число попадает в одно и только одно из множеств А или В.
20. Для всех xÎA и yÎB имеет место соотношение y > x.
Назовем А нижним классом сечения, В - верхним классом.
Существуют сечения трех типов.
1. Сечение, у которого в нижнем классе нет максимального числа, а в верхнем классе есть минимальное число, назовем сечением первого типа.
2. Сечение, у которого в нижнем классе есть максимальный элемент, а в верхнем классе нет минимального число, назовем сечением второго типа.
3. Сечение, у которого в нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе - минимального, назовем сечением третьего типа.
|
|
Примеры сечений:
1) А ={ x | x<1 }; B ={ x | x³1 } - сечение 1-го типа;
2) А ={ x | x£1 }; B ={ x | x>1 } - сечение 2-го типа;
3) А ={ x | x3£2 }; B ={ x | x3 >2 } - сечение 3-го типа.
Докажем что в третьем примере нижний класс не содержит максимальный элемент. Для этого покажем, что
" аÎA $ n>0: (a + 1/n)3 < 2.
Так как (a+1/n)3<a3 +(3a2+3a+1)/n, то достаточно выбрать такое n, чтобы n>3a2/(2-a3). Иными словами, какое бы рациональное а из A мы ни выбрали, в классе А всегда можно найти число больше его.
Аналогично можно доказать, что в этом примере в верхнем классе нет минимального элемента.
Сечения типа 1 и 2 определяют рациональное число r. Для сечения 1 типа это число - наименьшее в верхнем классе, для сечения 2 типа - наибольшее в нижнем классе. Сечение 3 типа не определяет никакого рационального числа, так как предположение противного противоречит определению сечения.
Будем говорить, что сечение 3-го типа определяет иррациональное число a, если для любых рациональных чисел xÎA и yÎB выполняется неравенство x<a<y. Иррациональные числа - это множество чисел, каждое из которых определяется некоторым сечением 3-го типа. Множество действительных (вещественных) чисел – это множество рациональных и иррациональных чисел.
Для мощности множества вещественных чисел R есть специальное обозначение - с. Любое множество имеющее такую мощность называется континуумом (от английского continue - продолжаться).
Введение понятия мощность континуума порождает два вопроса.
1. Существует ли множество мощностью больше чем с?
2. Существует ли множество промежуточной мощности между счетным и континуумом?
На первый взгляд множеством мощности больше с является любая плоская фигура, например, квадрат. Однако, это не так и справедлива
|
|
ТЕОРЕМА. Единичный квадрат на плоскости имеет мощность равную с.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим отображение f точек квадрата на его сторону. Возьмем любую точку внутри квадрата с координатами (x,y). Пусть в десятичном представлении x=0,a1a2a3..., а y=0,b1b2b3.... Образуем число z=f(x,y)= =0,a1b1a2b2a3b3..., которое является координатой точки на стороне квадрата. Таким образом, мы отобразим точки квадрата на его сторону. Ясно что это отображение инъективно, т.е. если мы берем точки А=(x1, y1) и B=(x2, y2), такие, что А¹В, и определим zA=f(A), zB=f(B), то получим zA¹zB, т.е. две разные точки A и B квадрата отображаются в две разные точки на отрезке прямой. Действительно, пусть А¹В. Значит x1¹x2 или y1¹y2, а раз так то эти числа отличаются хотя бы одним десятичным знаком, и значит zA¹zB.
Инъективность означает, что точек в квадрате не больше, чем на отрезке. С другой стороны, их не может быть меньше, поскольку отрезок является подмножеством квадрата. Следовательно, построенное отображение f взаимно-однозначно.
Тем не менее множества мощности выше континуума существуют, более того, справедлива
ТЕОРЕМА. Для любого множества А существует множество В большей мощности.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть имеется множество А. Рассмотрим множество В, являющееся множеством всех функций, определенных в точках множества А и равных 0 или 1 в этих точках. Покажем, что мощность множества В больше мощности А.
Рассмотрим на множестве А функцию из B, определенную по правилу
где aÎА. Поставим каждой точке аÎА в соответствие функция fa(x)ÎВ, причем, это отображение является взаимно однозначным. Очевидно, что построенное множество функций не исчерпывает всех возможных функций из В и {fa(x)}ÌВ, т.е. мы определили взаимно однозначное отображение всего А на часть множества В. Следовательно, мощность В не меньше мощности А.
Докажем, что мощность В не равна мощности А. Это эквивалентно тому, что не существует взаимно однозначного отображения А на все В. Предположим противное, что существует биективное отображение j: А ® В, которое каждому аÎА ставит в соответствие элемент bÎВ и каждой функции из B - элемент множества A. Обозначим j(a) = f(a)(x), и рассмотрим функцию
g(x) = 1 – f(x)(x).
По свойствам элементов множества В имеем, что значение f(x)(x) равно 0 или 1, тогда это свойство выполнено и для функции g(x). Следовательно, g(x)ÎВ. Значит, по предположению, существует такая точка bÎА, что ей однозначно соответствует g(x), т.е. g(x)=f(b)(x). Возьмем х=b, тогда получим
1 – f(b)(b) = f(b)(b).
Отсюда f(b)(b)=1/2, что противоречит условию принадлежности функции f(b)(x) множеству В. Поэтому, такого отображения j не существует. Значит, мощность В строго больше мощности А.
Из теоремы следует, что множества самой большой мощности не существует.
Эквивалентный способ построения множества большей мощности получим, если определим B как множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества A. Тогда m(B)= 2|A|.
Множество, мощность которого равна 2c, называется множеством мощности гиперконтинуума.
Что касается проблемы существования множества промежуточной мощности, то оказалось, что это утверждение невозможно доказать на основе аксиом теории множеств, но оно и не противоречит им. Подробнее об этом можно прочитать в [1].