Мощности конечных множеств - натуральные числа, и их можно складывать, умножать, возводить в степень. Эти операции можно обобщить и на мощности бесконечных множеств, и делается это так.
Пусть и - два множества. Чтобы сложить их мощности, надо взять мощность множества , если и не пересекаются. Если они пересекаются, то их надо заменить на непересекающиеся равномощные им множества и . Мощность объединения и будет суммой мощностей множеств и . Множества и можно выбрать следующим образом: положим и .
Произведение мощностей – мощность декартова произведения
Возведение в степень. Рассмотрим (для данных и ) множество всех функций вида (их область определения есть , а область значений содержится в ). Это множество обозначается , и его мощность и будет результатом операции возведения в степень.
Если множества и конечны и содержат и элементов соответственно, то содержит как раз элементов. В самом деле, определяя функцию , мы должны определить ее значение на каждом из элементов. Это можно сделать способами, так что получаем всего вариантов.
|
|
Пример.
Обозначим через множество из двух элементов, например, . по определению это множество функций . Такие функции - это последовательности нулей и единиц, только вместо пишем
Свойства сложения и умножения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) сохраняют силу и для арифметики мощностей:
Формально их следует читать, избегая слова " мощность" как самостоятельного объекта: например, означает, что и равномощны (и это легко проверить: будет взаимно однозначным соответствием между ними).
Свойства, включающие возведение в степень:
Проверим первое из них. Элементами (и не пересекаются) являются функции со значениями в , определенные на . Такая функция состоит из двух частей: своего сужения на (значения на аргументах из остаются теми же, остальные отбрасываются) и своего сужения на . Тем самым для каждого элемента множества получаем пару элементов из и . Это и будет искомое взаимно однозначное соответствие.
Мощность счетного множества символически обозначается мощность континуума (отрезка или множества бесконечных последовательностей нулей и единиц) обозначается . По определению, .
(Обычно обозначает наименьшую несчетную мощность. Гипотеза континуума утверждает, что .)
Известные свойства счетных множеств можно записать следующим образом:
- для конечного (объединение счетного и конечного множеств счетно);
- (объединение двух счетных множеств счетно);
- (объединение счетного числа счетных множеств счетно).
Отсюда можно формально получить многие факты манипуляциями с мощностями.
|
|
Пример
1) цепочка равенств
показывает, что прямая и плоскость равномощны.
Аналогично,
2)
3)
4) .
5) Приведенные свойства мощностей полезно сочетать с теоремой Кантора- Бернштейна. Например
поэтому (множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума).