2014-02-24
815
Пусть 
– линейное нормированное пространство над полем 
линейный оператор 
называется линейным функционалом.
Линейный функционал – это частный случай линейного оператора, поэтому для него справедливо все то, что сообщали о линейных операторах предыдущие параграфы этого раздела.
Линейный функционал называется ограниченным, если 
а число 
называется нормой линейного ограниченного функционала.
Множество всех линейных ограниченных функционалов обозначается символом 
, оно является полным линейным нормированным пространством (короче, банаховым пространством) и называется сопряженным пространством к пространству 
Классическим примером линейного функционала является определенный интеграл:
Вычислим его норму:
При 
все неравенства в этой цепочке обращаются в равенства, поэтому 
Теорема 6.2 (теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала)
Пусть – линейное нормированное пространство, 
– замкнутое линейное подпространство и пусть имеется линейный ограниченный функционал 
Тогда его можно продолжить на все пространство 
т.е. существует такой линейный ограниченный функционал 
что 
и 
Теорема 6.3 (теорема Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве)
Пусть 
– гильбертово пространство, 
Тогда существует единственный элемент 
такой что 
Причем 
Доказательство
Докажем существование такого представления.
Рассмотрим ядро линейного функционала 
– линейное подпространство 
Если 
то это значит, что 
тогда положим 
Если 
то 
Используя линейность функционала 
докажем, что 
при любом 
Тогда 
а это значит, что
Осталось обозначить 
и представление линейного функционала в виде 
готово.
Докажем единственность этого представления.
Предположим, что 
Тогда 
и в частности, 
а это может быть только в случае 
(см. первую аксиому скалярного произведения).
Докажем равенство норм
Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем оценку для нормы функционала:
При 
неравенство Коши-Буняковского обращается в равенство, поэтому
Теорема доказана
В частности, теорема Рисса утверждает, что все линейные ограниченные функционалы в пространстве 
имеют вид 
а все линейные ограниченные функционалы в пространстве 
имеют вид 
Рассмотрим пример применения теоремы Рисса для вычисления нормы линейного функционала в гильбертовом пространстве:
По теореме Рисса, должен существовать такой элемент 
что 
Нетрудно догадаться, что 
Тогда 
Следствие 6.4 теоремы Рисса
Любое гильбертово пространство является самосопряженным, т.е. 
изоморфно
Изоморфизм строится элементарно: каждому функционалу 
взаимо-однозначно сопоставляется элемент такой что 
