Симплектические пространства

Пусть V – конечномерное ВП над полем К, и j: V´V®K кососимметрично и невырожденно. Как мы уже устанавливали (где, в каком месте?), размерность такого симплектического пространства всегда чётна. Пусть она равна 2r. Мы также устанавливали, что в таком пространстве существует симплектический базис {e₁,…,e_r;e_r+1,…,e_2r} с матрицей Грама , E_r=(r единиц на диагонали).
Подпространство LÌV называется изотропным, если jç_Lº0 (это читается так: ограничение j на пространство L тождественно равно нулю).
В частности, все одномерные пространства изотропны.

Упражнение 93*.
Пусть LÌV – изотропное подпространство размерности t. Тогда t£r.
(hint: j defines the isomorphism V®V*. Þ dim L^{^}=2r-dimL. L is isotropic Þ LÌL^{^}).

Упражнение 94*.

Пусть LÌV – изотропное подпространство размерности t, t<r.
Тогда L содержится в изотропном подпространстве М размерности r.
(hint: prove that L = kerjç_L^{^}. Than look at symplectic basis in L^{^}).

Итак, каждое изотропное подпространство содержится в некотором максимальном изотропном пространстве. Их, этих максимальных изотропных подпространств, может быть, разумеется, много. Оказывается, что всякое симплектическое невырожденное пространство V разлагается в прямую сумму пары своих максимальных изотропных подпространств. Сейчас в серии упражнений вы и докажите этот факт.

Итак, пусть dimV=2r, {e₁,…,e_r; e_r+1,…,e_2r} - симплектический базис V, W₁ - максимальное изотропное подпространство V; dimW₁=r. Пусть М=L{e₁,…,e_r }- линейная оболочка первых r векторов симплектического базиса и пусть dim(MÇW₁)=s; 0£s£r.