Полилинейные формы

Мы уже познакомились с линейными формами f:V®K, билинейными формами f: (V´V)®K.

Def. Отображение f: (V´V´…´V)®K называется полилинейным или n-линейным (по числу сомножителей в скобках – экземпляров одного и того же ВП V над полем К) или полилинейной формой, если оно линейно по каждой переменной-вектору при фиксированных остальных (т.е., превращается в линейную форму). Если мы фиксируем все переменные, кроме двух, то получим билинейную форму на этих двух переменных.

Def. Форма f называется знакопеременной, если f(x₁,x₂,...,x_n)=0 всякий раз, когда две каких-либо соседних переменных (векторных!) равны (т.е., x_i=x_i+1 при каком-то i, 1£i£n-1.)

Упражнение 70. Пустьf: (V´V)®K – знакопеременная билинейная форма. Докажите, что f(x,y)=-f(y,x).

Упражнение 71. Если мы переставляем два соседних аргумента n-линейной знакопеременной формы, то она меняет знак: f(…,x_i,x_i+1,...)=- f(…,,x_i+1, x_i,...).

Упражнение 72. Еслиx_i=x_jдля i¹j, то f(x₁,...,x_n)=0 (т.е., обращается в нуль не только при равенстве двух соседних аргументов, а при равенстве любых двух аргументов).

Упражнение 73. Значение f(x₁,...,x_n)не изменится, если заменить х_i на х_i+aх_j, а все остальные аргументы при этом оставить прежними.
Упражнение 74. Найдите выражение для знакопеременной билинейной формы f (v,w), как функции координат векторов v и w, где v,wÎК² и заданы столбцами матрицы : v=ae₁+ce₂; w=be₁+de₂. На единичной матрице она должна принимать значение 1: . Справившись с этой задачей, сделайте то же самое для знакопеременной трилинейной формы f(v,w,z), где v,w,zÎК³ и заданы столбцами матрицы 3´3. Попробуйте распространить ваш результат для
n-линейной знакопеременной формы f(x₁,x₂,...,x_n), где все x_iÎКⁿ и заданы столбцами матрицы n´n.

Конспект №16.

Введение в Линейную Алгебру.

Многое из того, что в начале этого конспекта будет излагаться, мы с вами уже прошли на уроках, но, для полноты картины и связности изложения, мне видится целесообразным привести и собрать здесь все те результаты, которые мы в ходе учебного процесса получили. Те же утверждения, которые явно не разбирались на уроках, формулируются, как обычно, в виде упражнений.