Построим теперь систему нормальных уравнений для расчета параметров гиперболы y= a0 + a1/x
Заменяя в уравнении y= a0 + a1/x величину 1/x на z,получаем простейшее линейное уравнение парной регрессии y=a0+a1z, для которого также уже рассматривалась система нормальных уравнений:
a0+a1Σz=Σy
a0Σz+a2Σz2=Σyz
Выполним обратную замену переменных, подставляя вместо z переменную 1/x. Получим следующую систему
na0+a1∑1/x=∑y
a0∑1/x+a1∑1/x2=∑y/x (6.3)
Уравнение регрессии в виде гиперболы часто используется для описания различных экономических процессов, например, если a1>0, то классическим примером такой зависимости будет так называемая кривая Филлипса (см. рис.6.1).
В конце 50-х ХХ в. английский экономист Филлипс установил (на основе статистики за 100 лет) такую (обратную) зависимость между уровнем безработицы и приростом средней заработной платы.
Существуют и другие типы кривых, которые описываются уравнением гиперболы, например, кривая, которая изображена на другом графике (рис. 6.2).
У этой гиперболы a1<0. Такая кривая известна в экономической теории под названием «Кривая Энгеля».
|
|
Рис. 6.1. Кривая Филлипса
Рис. 6.2 Кривая Энгеля
Подобной зависимостью хорошо описывается взаимосвязь между долей расходов на покупку продуктов питания в общей сумме потребительских расходов и величиной доходов населения. С ростом уровня доходов семьи доля расходов на покупку продуктов питания уменьшается, а доля расходов на покупку товаров длительного пользования наоборот растет.
Такую закономерность вывел в 1857 году немецкий статистик Э. Энгель.