Исследование формы гиперболы

Из уравнения (25) следует, что х ² а². Это означает, что в полосе между прямыми х = – а и х = + а нет ни одной точки гиперболы.

Точки, в которых гипербола пересекает действительную ось, называются её вершинами. Если действительная ось гиперболы совпадает с осью ОХ, то это будут точки (– а;0) и (+ а;0).

Поскольку в уравнение (25) переменные х и у входят во второй степени, то гипербола симметрична относительно координатных осей и, следовательно, достаточно изучить её форму в первой четверти, где она определяется уравнением

(27).

При х = а получаем у = 0. Найдём наклонную асимптоту гиперболы. Это прямая вида у = х + q. Здесь

Таким образом, гипербола имеет две наклонные асимптоты

у = – и у = + (28).

Для изображения гиперболы на чертеже сначала построим так называемый основной прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны равны 2 а и 2 b и параллельны соответственно координатным осям ОХ и ОУ. Прямые, сопадающие с диагоналями этого прямоугольника, и есть асимптоты гиперболы. Центр их пересечения называется центром гиперболы.

Рис. 4

Координатная ось, пересекающая гиперболу в двух точках, называется действительной осью, а другая координатная ось называется мнимой осью (она не имеет никаких общих точек с гиперболой). Отрезки [- а;+ а ] и [- b;+ b ] называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы, а отрезки [0;+ а ] и [0;+ b ] называются соответственно действительной и мнимой полуосями. Если а = b, то гипербола называется равносторонней. Её уравнение имеет вид

х ² – у ² = а² (29).

В этом случае основной прямоугольник гиперболы становится квадратом со стороной 2 a.

Гипербола с действительной осью на координатной оси ОУ описывается уравнением

(30).