СМО с конечной очередью

СМО с конечной очередью. СМО с отказами

СМО с конечной очередью длины т характеризуется тем, что при поступлении очередной заявки возможны три исхода:

– заявка немедленно принимается на обслуживание, если в си­стеме в данный момент находится k заявок и k<n;

– заявка становится в очередь, если п £ k<n+m;

– заявка получает отказ и покидает систему, если k=n+m. Следовательно, в любой момент времени система может нахо­диться в одном из п+т+ 1 состояний, то есть множество состояний

Увеличение числа заявок в системе происходит только под воз­действием потока заявок интенсивности l, а уменьшение числа зая­вок в системе — только в результате завершения обслуживания одной из заявок, то есть

(k занятых приборов порождают поток обслуженных заявок ин­тенсивности k m).

Рис. 6.4. СМО с конечной очередью

Размеченный граф состояний СМО с конечной очередью для п= 3, т= 2 изображен на рис. 6.5.

Для определения вероятностей состояний системы в формулы (6.8) и (6.9) подставим значения

и получим:

– для k £ n

;

– для k<n

.

Полагая в уравнении (6.9) N=n+m, находим:

(6.17)

Учитывая, что a ⁰/0!=1 и вычисляя сумму т членов геометри­ческой прогрессии со знаменателем r, находим:

. (6.18)

Из уравнения (6.8) находим вероятности состояний:

; (6.19)

. (6.20)

На основании формул (6.17) – (6.20) определим основные по­казатели эффективности системы.

1. Вероятность отказа в обслуживании – это вероятность того, что в СМО имеется п+т заявок, то есть

(6.21)

Зная Р_отк по формулам (6.11) – (6.13), можно вычислить аб­солютную и относительную пропускные способности системы, сред­нее число занятых приборов, коэффициенты их загрузки и простоя.

2. Вероятность того, что поступившая в систему заявка заста­нет все каналы занятыми (не будет немедленно принята на об­служивание),

. (6.22)

3. Средняя длина очереди

,

где P_n+r – вероятность того, что в очереди находится ровно r зая­вок (k=n+r).

Подставляя в полученное выражение P_n+r, находим:

; (6.23)

. (6.24)

4. Среднее время ожидания в очереди определяется как мате­матическое ожидание. Если к моменту поступления заявки в оче­реди находится r= 0, 1,..., т– 1 заявок, то она поступит на об­служивание после завершения обслуживания r+ 1 заявок, то есть

;

. (6.25)

Среднее время ожидания – это среднее время на­копления очереди длиной L.

Среднее число заявок, находящихся в СМО, и среднее время пребывания заявки в системе определяются по формулам (6.14) и (6.15) с учетом формул (6.23) – (6.25).

Из полученных соотношений следует, что показатели Р_отк, q, N_з, L, Y не зависят от конкретных значений l и m, а только от их соотношения a. Показатели напротив, чувствительны к изменению не только параметра a, но и к изменению l при a =const. Так, например, при увеличении l и m в два раза Р_отк, q, n_з и L не изменяются, Q увеличивается, а уменьшается в два раза, то есть при одновременном увеличении плотности потоков зая­вок и обслуживании характеристики процесса обслуживания улуч­шаются.