Список используемой литературы
1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.1. – М.: ОНИКС. 2003. – 304 с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.2. – М.: ОНИКС. 2003 – 415 с
3. Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с
4. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.
5. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М.,2001, - 208 с.
6. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с.
Тема «Функции нескольких переменных»
Цель: рассмотреть частные производные и полный дифференциал, научить находить производные высших порядков.
Ключевые слова: частная производная, полный дифференциал, частное и полное приращение функции.
Вопросы:
1. Частные производные и полный дифференциал.
2. Производные высших порядков.
3. Применение частных производных в экономике.
1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.
|
|
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее приращение стремится к нулю.
, - частная производная по х.
- частная производная по y.
При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.
Полный дифференциал функции вычисляется по формуле:
, причем .
Пример 1. Найти полный дифференциал функции .
Решение. .
Найдем частные производные.
- вычислим производную по x, считая y постоянным.
.
- вычислим производную по y, считая x постоянным.
.
Тогда .
Пример 2. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда с изменениями a=8м, b=6м, c=3м, когда его длина и ширина увеличатся соответственно на 10см и на 5см, а высота уменьшится на 15см.
Решение: Объем параллелепипеда V=zyx, где x, y,z- его измерения. Приращение объема можно приближенно вычислить по формуле:
где
.
По условию x=8, y=6, z=3, ; ; dz = -0,15
. Тогда получим:
Ответ: объем уменьшится на 4,2 см2.
Пример 3. Вычислить приближенно .
Решение. Рассмотрим функцию . Искомое число можно считать приращенным значением этой функции при x=1; y=3; ; ; .
Воспользуемся формулой:
Тогда по формуле получится .
2.Производные высших порядков.
Для функции нескольких переменных можно определить производную от производных, т.е. производные высших порядков. Для производных второго порядка функции приняты следующие обозначения.
|
|
- функция дифференцируется по x последовательно два раза, считая y постоянной величиной;
-функция сначала дифференцируется по x, а затем результат дифференцируется по y;
- функция последовательно дифференцируется по y два раза. Следует иметь в виду, что при условии, что они непрерывны. Производные называются смешанными.
Аналогично вводятся частные производные 3-го и т.д. порядков.