Теорема о приведении тензора инерции к главным осям

.

.

Главному моменту внешних воздействий плюс скорость подвода кинетического момента

(5.14)

Кинетический момент (момент импульса) одной точки;

тела, состоящего из материальных точек; (5.15)

тела, занимающего какую-либо область в пространстве с непрерывно распределенной

массой (континуального тела)

. (5.16)

Скорость подвода момента количества движения в тело определяется как

,

где –присоединяющаяся к телу

за время со скоростью масса.

A

Главным моментом внешних воздействий называется (см. рис.2.1. главы 2) сумма

где - сосредоточенные, массовые, контактные силы соответственно, а –

моменты.

В механике Ньютона, где тела состоят из материальных точек, а силы взаимодействия

между ними центральны и подчинены третьему закону Ньютона(, закон

баланса момента количества движения является теоремой об изменении момента

количества движения. Дифференцируя по времени момент (5.15), получим с помощью

второго закона Ньютона для точки

=

Последняя двойная сумма разбивается на равные нулю суммы пар слагаемых

, т.к..

5.2.1. Зависимость кинетического момента от выбора опорной точки. Кинетический

момент твердого тела. Тензор инерции.

Хотя закон баланса кинетического момента сформулирован в инерциальной системе

отсчета, сам кинетический момент может вычисляться в любой системе отсчета.

Рассмотрим любое (не обязательно твердое) тело и две произвольные, может быть

подвижные, точки M и N.

·

· N

M· А · В

Заменив =, немедленно получим

или, вспоминая определение количества движения,

(5.17)

Рассмотрим движение твердого тела в любой (необязательно инерциальной) системе

отсчета. Найдем кинетический момент относительно какой-либо точки В, принадлежащей

телу (т.е. движущейся вместе с телом).

Подставим в определение (5.16) основную формулу кинематики

твердого тела, взяв за полюс точку В:

Вспоминая определение центра масс,первое слагаемое запишем в виде

.

Во втором слагаемом раскроем двойное векторное произведение:

Независящий от переменных интегрирования вектор угловой скорости вынесем из

интеграла со знаком скалярного умножения, представив, где, напомним,

единичный тензор, представимый в ортонормированном базисе в виде.Тогда

,

Описывающий распределение массы вокруг точки В интеграл называется тензором инерции

тела в точке В (или относительно точки В):

(5.18)

Таким образом, кинетический момент твердого тела относительно принадлежащей ему

точки, называемый собственным кинетическим моментом, имеет вид

, ((5.19)

Формула упрощается, если в качестве полюса В выбрать центр масс: тогда и

, (5.20)

где тензор инерции тела относительно центра масс называется центральным.

Если тело вращается вокруг неподвижной точки В, то

. (5.21)

Теперь, если нам нужно найти кинетический момент относительно какой-либо точки,

например, относительно неподвижной точки А, достаточно воспользоваться формулой (5.17)

. (5.22)

5.2.3. Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление

моментов инерции относительно произвольных осей.

Из определения тензора инерции, вычисляемого в

в актуальном положении твердого тела, ясно, что тензор инерции зависит от времени.

Разложим вектор и единичный тензор по базису, жестко связанному с телом:

.

Тогда тензор инерции примет вид, где координаты постоянные,

a переменные и это повернутые вместе с телом постоянные векторы и

в отсчетном (например, при t=0) положении. Таким образом, это

повернутый вместе с телом («вмороженный» в тело) постоянный тензор инерции

. (5.23)

Последнее предложение с помощью тензора поворота «переводится» в формулу

.

(t) актуальное положение

B

B

В

Далее мы будем говорить о постоянном тензоре, координаты которого называются моментами инерции.

Из (5.23) ясно, что тензор инерции симметричный, т.е..

Формально координаты тензора в ортонормированном базисе вычисляются с помощью

скалярного умножения тензора слева на, а справа на:

. (5.24)

Из (5.23) имеем:

, (5.25)

где квадрат расстояния от элемента до «К»- ой оси,

(5.26)

Моменты инерции (5.25) называются осевыми, а(5.26) - центробежными.

Из (5.25) следуют своеобразные «правила треугольника»

Например,,

причем ясно, что равенство возможно только в тех случаях, когда у всех точек тела

координата; например, если тело – бесконечно тонкая спица или бесконечно тонкая

пластина.

5.2.2. Зависимость тензора инерции от точки (обобщенная теорема Гюйгенса- Штейнера).

Для описания движения твердых тел необходимо вычислять тензор инерции относительно

разных точек. Так, например, тело может вращаться вокруг различных неподвижных точек

и, соответственно, осей. Чтобы избавиться от необходимости каждый раз вычислять

интегралы (5.25), (5.26), найдем связь между центральным тензором инерции,который

является неотъемлемым, вычисленным или измеренным атрибутом тела, и тензором

инерции в некоторой точке.

Z

С

· В

В y

X

Подставляя в определение тензора выражения

, получим

Все невыписанные слагаемые равны нулю, поскольку они содержат равный нулю

множитель

интегралов). Таким образом, получили обобщенную теорему Гюйгенса- Штейнера

. (5.27)

Пусть - оси с началом в точке В и базисными векторами, а

параллельные им оси с началом в центре масс (центральные оси) c координатами

. Умножая (5.27) слева и справа скалярно на, получим формулу связи для осевых

моментов инерции

или

(5.28)

где квадрат расстояния между осями X и.

Умножая (5.27) слева на и справа на, получим формулу связи для центробежных

моментов инерции

или

. (5.29)

Разумеется, формулы (5.28) и (5.29) легко записываются и для других осей.

Заметим также, что поскольку осевые моменты инерции не зависят от положения точек на

осях, часто в формулах (5.28) «имена» точек В и С опускаются.

. Из (5.28) следует, что осевые моменты инерции минимальны, если оси центральные

(вспомним о центре масс, как о точке, «ближайшей» ко всем точкам тела).

5.2.3. Главные оси и главные моменты инерции.

Начнем с определения:

Если для тензора второго ранга существует вектор такой, что,

то число называется главным (собственным) значением тензора, собственным

вектором, а ось, задаваемая главной осью тензора.

Тензор инерции, как и любой симметричный тензор, имеет тройку ортогональных

собственных векторов и тройку вещественных собственных значений (главных

моментов), причем:

1. Если собственные значения различны, то собственные векторы определяются

единственным образом и тензор инерции имеет вид

2. Если два собственных значения равны, например, то однозначно

определяется собственный вектор, а любые перпендикулярные к (и друг к

другу); в этом случае.

Такой тензор называется трансверсально-изотропным; он не изменяется, если тело

вращать вокруг оси изотропии, задаваемой.

3. Если равны все собственные значения, то любая

ортонормированная тройка и тензор инерции называется шаровым

Эта теорема доказывается в курсе линейной алгебры как теорема о собственных числах

(значениях) и собственных векторах симметричной матрицы.

Применительно к тензору инерции ее содержание сводится к тому, что существует по

меньшей мере одна тройка главных осей, т.е. осей, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю и тензор инерции в этих осях имеет вид

. Поскольку ориентация тройки осей задается тремя параметрами (например, углами

Эйлера), то существует возможность сделать равными нулю три центробежных момента.

В некоторых случаях, когда тело обладает каким – либо видом симметрии, то согласно

физическому принципу Кюри-Неймана этой же симметрией должен обладать и тензор

инерции; тогда главные оси могут быть найдены из соображений симметрии.

Так, например, если тело обладает плоскостью симметрии BXZ, то перпендикулярная ей

ось Y является главной (рис.5.3а). Действительно, центробежные моменты

и равны нулю, поскольку каждому элементу с координатами

соответствует симметричный с координатами.

Если имеется еще одна плоскость симметрии BYZ, перпендикулярная первой, то ось Х

(а, следовательно, и Z) тоже главная: и,так что

тензор инерции для любой точки В, находящейся на линии пересечения этих плоскостей,

имеет вид

.

Если тело осесимметричное (рис.5.3б), то любая плоскость, содержащая ось Z, является

плоскостью симметрии и, в дополнение ко всему вышесказанному ясно, что;

так что тензор инерции трансверсально-изотропный

Z Z Z

а) б) в)

В·

В·

X Y

Рис. 5.3

Если тело обладает осью симметрии «N» - го порядка, т.е. тело переходит «само в себя»

при повороте на угол (на рис.5.3в N=5), то можно доказать, что и в этом

случае тензор инерции трансверсально-изотропный.

5.2.4. Эллипсоид инерции.

Тензору инерции, как и всякому симметричному тензору, можно сопоставить наглядный

геометрический объект – так называемую тензорную поверхность.

Пусть тензор инерции в точке В. Построим квадратичную форму и приравняем ее единице:

Это уравнение поверхности, описываемой вектором с началом в точке В, которая для

положительного тензора является эллипсоидом. Действительно, записывая в

главных осях, получим:

или, в каноническом виде

(5.30)

Уравнение (5.30) – уравнение эллипсоида с полуосями, равными

B M

Так как протяженное в каком-либо

направлении тело имеет относительно

оси, совпадающей с этим направлением,

наименьший момент инерции, то

эллипсоид инерции приблизительно

повторяет форму тела.

1. Найдем момент инерции

относительно оси, задаваемой

вектором.

Имеем

,

откуда

2. Вычислим дифференциал от уравнения (5.30):

, отсюда следует, что вектор перпендикулярен к эллипсоиду,

поскольку вектор лежит в касательной плоскости к поверхности.

Кинетический момент тела, вращающегося вокруг точки В, равен, поэтому

направлен по нормали к поверхности эллипсоида в точке его пересечения с

мгновенной осью вращения, проведенной через точку В.

3. Если тело обладает осью симметрии «N» - го порядка, т.е. переходит «само в себя»

при повороте на угол (рис.5.3в), то «вмороженный» в него эллипсоид

инерции обладает тем же свойством и, следовательно, является эллипсоидом вращения с

равными полуосями; т.е. тензор инерции трансверсально-изотропный.

5.2.5. Вычисление тензоров инерции некоторых тел.

1. Шар.

Центральный тензор инерции – шаровой:.

Складывая моменты инерции, получим

В качестве элемента массы возьмем массу шарового слоя толщиной dr:,

где элементарный объем, а плотность.

. Тогда и окончательно

Рассмотрим частные случаи.

а) Шар:

dr

a R

б) Оболочка:

2. Полый прямой круговой цилиндр.

Z

Найдем сначала

Выделим двумя цилиндрическими поверхностями

радиуса и трубку толщиной и от тройного

интеграла перейдем к одинарному:

Учитывая, что, найдем сумму

.

Разделив цилиндр на пластинки толщиной и массой, найдем