Канонические уравнения линий второго порядка

Литература.

Основные вопросы.

Расстояние от точки до прямой.

Дана прямая и точка Расстояние d от точки до данной прямой определяется по формуле

Старший преподаватель Невердовский В.Г.

Лекция 4. Тема: Кривые второго порядка.

Цель лекции. Аналитическая геометрия изучает геометрические образы (элементы геометрии) с помощью анализа их уравнений. Изучаемый материал значительно облегчает построение большинства математических моделей. Цель лекции состоит в изучении свойств геометрических образов, наглядность которых облегчает понимание свойств функций.

1. Канонические уравнения линий второго порядка.

1⁰. Окружность.

2⁰. Эллипс.

3⁰. Гипербола.

4⁰. Парабола.

1. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник. Алматы.2003 г.

2. Невердовский В.Г. «Элементы линейной и векторной алгебры. Аналитическая геометрия». Учебное пособие. Академия ГА 2012г.

3. Невердовский В.Г., Байбазаров М.Б. Сборник задач по высшей математике. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Алматы. 2010г.

Краткое содержание.

Ранее было установлено, что:

1) всякая прямая в прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени относительно переменных х и у;

2) всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0 в прямоугольной системе координат определяет единственную прямую.

Будем изучать линии, определяемые уравнением второй степени относительно переменных х и у, которое имеет вид

Ах² + Вху + Су² + Dх + Fу + Е = 0 (17)

Линии, определяемые уравнением (17) называются линиями (кривыми) второго порядка. Коэффициенты уравнения (17) могут принимать различные действительные значения, кроме А=В=С=0 одновременно (в противном случае такое уравнение не будет уравнением второй степени).

1⁰. Окружность.

Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Пусть на плоскости Оху задана окружность радиуса R. с центром в точке С(а;b).

у

C(a; b)

М(х,у)

b

О а х

Составим уравнение этой окружности. На данной окружности возьмем произвольную точку М(х,у). На основании определения имеем Расстояние любой точки окружности до центра С будет

Расстояние любой точки окружности до центра С будет

(1)

Уравнение (1) есть уравнение окружности с центром в точке С(a,b)и радиусом R.

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности х²+у²-6х+4у-12=0.

Решение. Сгруппируем члены, содержащие х и у и дополним их до полных квадратов.

(х² - 6х + 9) + (у² + 4у + 4) – 9 – 4 – 12 = 0

или

(х - 3)² + (у + 2)² = 25

Данное уравнение определяет окружность с центром в т С(3;-2) и радиусом

R = 5.

2⁰. Эллипс и его каноническое уравнение.

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Для получения уравнения эллипса в его простейшей (канонической) форме выберем специальным образом систему декартовых прямоугольных координат. Ось Ох проведем через фокусы F₁ и F₂. Начало координат поместим в середину отрезка F₁F₂.

у

r2 r1

М(х;у)

А₂ A₁ х

Обозначим расстояние между фокусами через 2c. Тогда координаты фокусов будут F₁(c;0), F₂(-c;0).

Пусть М(х;у) - произвольная точка эллипса. Расстояние и называются фокальными радиусами точки М.

Подставляя выражения для r₁ и r₂ в уравнение r₁+r₂=2а, получим

После преобразования этого уравнения получим каноническое уравнение эллипса в виде

Так как 2а > 2с, то а > с, то обозначая а² - c² = b², получаем

Исследуем форму эллипса по его уравнению.

1. В уравнении (19) переменные х и у входят только во второй степени. Эллипс расположен симметрично относительно осей координат. Оси координат являются осями симметрии. Точка пересечения осей симметрии эллипса называется центром симметрии.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. При у =0 получаем:, откуда х = ± а. Следовательно эллипс пересекает ось Ох в двух точках А₁(а,0), А₂(- а,0). При у =0 получаем, откуда у = ± b. Следовательно, эллипс пересекает ось Оу в точках B₁(0;b ), B₂(0; -b). Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами.

3. Все точки эллипса находятся в части плоскости, ограниченной прямоугольником со сторонами 2 а и 2 b.

4. Отрезки А₁А₂ и В₁В₂ называются большой и малой осями эллипса а > b. Фокусы эллипса лежат на большой оси.

Величина, входящая в эти формулы называется эксцентриситетом эллипса. Обозначим ее буквой е,. Она характеризует форму эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется число, равное отношению расстояния между фокусами к длине большой оси эллипса.

Так как для эллипса с < а, то величина эксцентриситета эллипса е < 1.