Основные методы интегрирования

Таблица основных неопределенных интегралов

Пример.

Определение первообразной и неопределенного интеграла.

Основные вопросы.

1. Определение первообразной и неопределенного интеграла.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица основных неопределенных интегралов.

4. Основные методы интегрирования:

а) метод замены переменной

б) интегрирование по частям.

Краткое содержание лекции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F’(x) = f(x) " x Î (a,b).

Теорема. Если - любые две первообразные для f(x) на (a,b), то const.

Следствие. Если F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на (a,b), то любая другая первообразная Ф(х) для функции f(x) на (a,b) имеет вид Ф(х) = F(x) + C, где С – произвольная постоянная.

Множество всех первообразных для функции f(x) на (a,b) вида F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) на (a,b) и обозначается символом

В этом обозначении знак называется знаком интеграла, х переменная интегрирования, выражение f(x)dx - подынтегральным выражением, а сама функция f(x) – подынтегральной функцией. Операция нахождения первообразной называется интегрированием.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

1.

2.

3.

4.

5.

6. Если и то

В частности,

а) Метод замены переменной.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на сегменте а сегмент [ a,b ] – множество ее значений. Пусть функция y =f(x) определена на [ a,b ] и имеет на этом сегменте первообразную F(x). Тогда на сегменте [ ] функция является первообразной для функции

Из теоремы следует, что

а так как то предыдущее равенство можно записать в виде

Полученная формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример. Найти интеграл.

=

б) Метод интегрирования по частям.

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы на сегменте [ a,b ]. Тогда имеет место равенство

Это равенство называется формулой интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям удобно применять в следующих случаях.

1. Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции Если в качестве взять эти функции, то подынтегральное выражение vdu нового интеграла обычно получаются проще исходного.

2. Подынтегральная функция имеет вид где Р(х) – многочлен относительно переменной х. Если в качестве u(x) взять Р(х), то в новом интеграле подынтегральная функция снова принадлежит к одному из указанных типов, но степень многочлена будет на единицу меньше. Выбирая этот многочлен снова в качестве u(x), понижаем степень еще на единицу и т.д.

3. Подынтегральная функция имеет вид. После двукратного интегрирования по частям получается снова исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Полученное равенство является линейным алгебраическим уравнением относительно исходного интеграла.