Правила дифференцирования. Глава 1. Определение производной

Глава 1. Определение производной. Правила дифференцирования.

Глава 5. Непрерывность функции. Односторонние пределы.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, а также

(5.1)

Точки, в которых равенство (5.1) не выполняется, называются точками разрыва функции. Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Обозначим за Dх разность между двумя значениями аргумента D х = х ₂ – х ₁, а за D f (x) разность между двумя значениями функции D f (x) = f (x ₂) - f (x ₁). Тогда, если функция непрерывна, то бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если D х ® 0, то и D f (x) ® 0.

Введем понятие односторонних пределов. Число А называется пределом функции f (x) слева, если х ® x ₀ оставаясь все время меньше х ₀ (x < x ₀). Запись предела слева

Аналогично вводится понятие предела справа, в этом случае х ® x ₀ оставаясь все время больше х ₀ (x > x ₀). Запись предела справа

Для непрерывной функции предел слева совпадает с пределом справа и равен значению функции в точке х ₀

== f (x ₀).

В точках разрыва цепочка равенств нарушается. Разрыв называется «разрывом первого рода», если все пределы конечны и «разрывом второго рода», если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен.

Если хотя бы один из пределов равен бесконечности в точке х = х ₀, то говорят, что в этой точке есть вертикальная асимптота. Функция, имеющая на конечном промежутке конечное число разрывов первого рода называется кусочно непрерывной.

Все элементарные функции, а также любая их суперпозиция непрерывны в своей области определения.

Пример 1. Найти точки разрыва функции.

если

Решение. На интервалах , и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку .

Вычислим односторонние пределы

, .

Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.

Рассмотрим точку .

, ,

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности (рис. 5.1).

Рис. 5.1.

Пример 2. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

Решение. Область определения функции

Точка разрыва . Найдем односторонние пределы

; .

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 5.2.

Рис. 5.2.

Пусть задана некоторая функция y = f (x). Выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х ₁. Вычислим значения функции f (x) и f (x ₁). Обозначим за Dх разность между двумя значениями аргумента D х = х ₁ – х, (т.е х ₁ = х +D х).

Замечание. D х может быть как больше нуля, если х ₁ > х,так именьше нуля, если х ₁ < х.

Приращением функции D f (x) называется разность между двумя соответствующими значениями функции D f (x) = f (x ₁) - f (x) или D f (x) = f (х + D x) – f (x).

Если при D х ® 0 существует конечный предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, то функция f (x) называется дифференцируемой в точке х, а значение предела называется производной от функции f (x) в точке х и обозначается

(1.1)

Производная - это функция от того же аргумента, что и f (x). Операцию вычисления производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f (x), отметить точки х и х ₁= х + D х, то МС = D х, NC = D f (x). Величина отношения

(1.2)

равна тангенсу угла наклона секущей MN к оси абсцисс (см. рис.1.1).

Рис. 1.1. Геометрический смысл производной

Если Dх ® 0, то точка N стремится по графику функции к точке M, секущая MN стремится занять положение касательной МК к графику функции f (x) в точке M, угол наклона секущей α стремится к углу наклона касательной φ. Сравнивая формулы (1.1) и (1.2) мы можем сказать, что значение производной f ¢(x) в точке х равно тангенсу угла наклона касательной к графику y = f (x) в точке М с координатами (х, f (x)).

Уравнение касательной в точке М

уравнение нормали

В механике производная от пути по времени есть скорость

Производная постоянной С равна нулю

(C)` = 0 (1.3)

Производная линейной комбинации функций f ₁ (x) и f ₂(x)

у (х) = с₁f₁ (x) +c₂f₂ (x), (1.4)

где с₁ и c₂ произвольные постоянные,

равна линейной комбинации производных

у ¢(x) = (с₁f₁ (x) +c₂f₂ (x)) ¢ = с₁f₁¢ (x) +c₂f₂¢ (x). (1.5)

Действительно, вычислим приращение функции D у (x).

Для этого выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х ₁. Вычислим соответствующие значения функции у (x ₁) и у (x) и найдем ее приращение.

D у (x) = у (x ₁) - у (x) = (с₁ f ₁(x ₁) + с₂ f ₂(x ₁)) - (с₁ f ₁(x) + с₂ f ₂(x))

Сгруппируем отдельно слагаемые содержащие f ₁ (x) и f ₂(x) и вынесем за скобки константы с₁ и с₂. Выделим приращения функций f ₁ (x) и f ₂(x)

D у (x) = (с₁ f ₁(x ₁) - с₁ f ₁(x)) + (с₂ f ₂(x ₁) - с₂ f ₂(x)) =

(1.5)

= с₁ (f ₁(x ₁) - f ₁(x)) + с₂ (f ₂(x ₁) - f ₂(x)) = с₁ D f ₁(x) + с₂ D f ₂(x ₁).

Подставим приращение функции D у (x) (1.5) в формулу (1.1) и учтем правила вычисления пределов:

предел суммы равен сумме пределов,

постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Тогда

Производная произведения функций у (x) = f (x) g (x) вычисляется по правилу: произведение производной от первой функции на неизменную вторую плюс произведение производной от второй функции на неизменную первую