Физическая и математическая модель

.

Любая система векторов, обладающих такими свойствами, называется базисом пространства .

В случаях можно рассматривать как вектор, заданный своими проекциями на оси координат. Тогда в «привычных» обозначениях: система является базисом в пространстве , а – в .

В существует бесконечное множество базисов. В частности, в – это любая пара неколлинеарных, а в – любая тройка некомпланарных векторов.

Покажем, что векторы образуют базис в , и найдем разложение вектора по базису

1. Составим линейную комбинацию . Выясним условия на , при которых эта комбинация дает .

.

Определитель полученной однородной системы , значит (см.замечание к теме «СЛАУ») она имеет только тривиальное решение .

2. Аналогично находим: . Т.е. .

Физическая модель – упрощенное представление объекта или явления, сохраняющая основные его черты. Применительно к расчетам на прочность и жесткость физическая модель должна отражать: геометрические свойства детали, свойства материала детали, действующие на деталь нагрузки.

По геометрическим признакам все тела делятся на три группы:

1. стержни – тела, у которых одно измерение существенно больше двух других (характеризуются поперечным сечением и формой оси).

2. пластины и оболочки – тела, у которых одно измерение существенно меньше двух других (характеризуются толщиной и формой серединной поверхности).

3. массивы – тела, у которых все три измерения соизмеримы.

Реальные конструкционные материалы (стали, чугуны, цветные материалы) имеют кристаллическое строение; кристаллы малы и расположены хаотично. Сложность реального строения и возникающая трудность при математическом его описании явились причиной разработки модели твердого тела. Эта модель должна сохранить основные свойства материалов и в тоже время сделать простым их аналитическое описание. Поэтому в расчетах на прочность и жесткость принимается ряд основных гипотез и допущений:

1. сплошность – материал не имеет в своей структуре пустот.

2. однородность – одинаковые свойства материала в любой точке детали.

3. изотропность – одинаковые свойства материала в различных направлениях.

4. идеальная упругость (упругость – свойство тела восстанавливать форму и размеры после снятия нагрузки; пластичность – свойство тела получать большие остаточные деформации после снятия нагрузки).

5. отсутствие первоначальных внутренних напряжений.

6. принцип малых перемещений – перемещения конструкции малы по сравнению с размерами конструкции.

7. линейная деформируемость материала – в зоне действия упругих деформаций зависимость между силой и приращением размера линейная.

8. гипотеза плоских сечений – плоское до нагружения сечение остается плоским и после нагружения.

Все свойства физической модели, описанные уравнениями, составляют математическую модель деформированного тела. Математическая модель должна содержать три группы уравнений:

1) Статические – включающие нагрузки и условия равновесия;

2) Физические – отражающие связь между нагрузками и деформациями;

3) Геометрические – отражающие изменение формы и размеров под нагрузкой.