Сходящиеся и расходящиеся последовательности
Свойства бесконечно малых последовательностей
Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.
· Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
· Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
· Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
· Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
· Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
· Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
|
|
· Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
· Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
· Если (xn) — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / xn), которая является бесконечно малой. Если же (xn) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / xn) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.
· Если (α n) — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / α n), которая является бесконечно большой. Если же (α n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / α n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.
· Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.
· Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.
· Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
· Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
· Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
· Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
· Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
|
|
· Если последовательность (xn) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / xn), которая является ограниченной.
· Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
· Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
· Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
· Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
· Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
· Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
· Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
· Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
· Любую сходящуюся последовательность (xn) можно представить в виде (xn) = (a + α n), где a — предел последовательности (xn), а α n — некоторая бесконечно малая последовательность.
· Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).