Ступенчатая функция

Функция знака

Функция с устранимым разрывом

Элементарные функции

Примеры

Глобальные

Локальные

Свойства

· Функция, непрерывная в точке, является ограниченной в некоторой 043Eкрестности этой точки.

· Если функция непрерывна в точке и (или), то (или) для всех, достаточно близких к.

· Если функции и непрерывны в точке, то функции и тоже непрерывны в точке.

· Если функции и непрерывны в точке и при этом, то функция тоже непрерывна в точке.

· Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке, то их композиция непрерывна в точке.

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

· Областью значений функции, непрерывной на отрезке, является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку.

· Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой.

· Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой.

· Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

· Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и.

· Если функции и непрерывны на отрезке, причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке.

Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, причём

,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция, определяемая как

является всюду непрерывной, кроме точки x = 0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.