2014-02-09
1935
Дифференцируемость
Определение производной функции через предел
Определение
История
Производная функции
Иллюстрация понятия производной
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
| Содержание · 1 История · 2 Определение o 2.1 Определение производной функции через предел o 2.2 Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0 · 3 Дифференцируемость · 4 Замечания · 5 Геометрический и физический смысл производной o 5.1 Тангенс угла наклона касательной прямой o 5.2 Скорость изменения функции · 6 Производные высших порядков · 7 Способы записи производных · 8 Примеры · 9 Правила дифференцирования · 10 Таблица производных некоторых функций · 11 Производная вектор-функции по параметру |
В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.
Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.[1]
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число, что функцию в окрестности U (x 0) можно представить в виде
f (x 0 + h) = f (x 0) + Ah + o (h)
если существует.
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x 0 называется предел, если он существует,
Общепринятые обозначения производной функции y = f (x) в точке x 0
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).
Основная статья: Дифференцируемая функция
Производная функции f в точке x 0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x 0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в x 0 функции f в окрестности U (x 0) справедливо представление
при
· Назовём Δ x = x − x 0 приращением аргумента функции, а Δ y = f (x 0 + Δ x) − f (x 0) приращением значения функции в точке x 0. Тогда
· Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция
· Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
· Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:
