Упражнения для самостоятельной проработки. Свойства математического ожидания

Свойства дисперсии

Дисперсия

Свойства математического ожидания

Математическое ожидание

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ

1.	Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 мин поступи: а) 4 вызова б) менее 4-х вызовов в) не менее 4-х вызовов
2.	Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) 3 вызова б) менее 3-х вызовов в) не менее 3-х вызовов поток вызовов предполагается простейшим.
3.	Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку б) ровно 2 опечатки в) не менее 2-х опечаток

Математическое ожидание	-	Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:
		M(X) = x1 . p1 + x2 . p2 +... + xn . pn

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то:

	¥
M(X) =	å	Xi . pi
	i=1

1. Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(C) = C

2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания:

M(CX)=CM(X)

3. Мат. ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

M(X₁^. X₂ … X_n) = M(X₁) ^. M(X₂) ^.... ^. M(X_n)

4. Мат. ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X₁+X₂ +… +X_n) = M(X₁) + M(X₂) +... + M(X_n)

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

M(X) =np

Дисперсия	-	Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания
		D(X) = M [X-M(X)]2

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

D(X) = M(X² ) - [M(X)]²

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(C) = 0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

D(CX) = C² D(X)

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

D(X₁+X₂+…+X_n) = D(X₁) + D(X₂) +…+D(X_n)

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq

Среднее квадратическое отклонение случайной величины	-	Квадратный корень из дисперсии:
		s(X) = Ö	D(X)

1.	Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
	а)	Х	-4 6 10	б)	Х	0,21 0,54 0,61
		р	0,2 0,3 0,5		р	0,1 0,5 0,4
2.	В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х - числа нестандартных деталей среди 2-х отобранных.
3.	Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости.
4.	Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
	Х -5 2 3 4
	Р 0,4 0,3 0,1 0,2

Приложение 1

Таблица значений функции j (x) =		e	-x2/2
Ö	2p

0,0	0,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6	0,
1,7
1,8
1,9

Продолжение приложения 1

2,0	0,
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Приложение 2

Таблица значений функции Ф (x)

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,		0,20	0,0793	0,40	0,1554	0,60	0,2257
0,01	0,		0,21	0,0832	0,41	0,1591	0,61	0,2291
0,02	0,		0,22	0,0871	0,42	0,1628	0,62	0,2324
0,03	0,		0,23	0,0910	0,43	0,1664	0,63	0,2357
0,04	0,		0,24	0,0948	0,44	0,1700	0,64	0,2389
0,05	0,		0,25	0,0987	0,45	0,1736	0,65	0,2422
0,06	0,		0,26	0,1026	0,46	0,1772	0,66	0,2454
0,07	0,		0,27	0,1064	0,47	0,1808	0,67	0,2486
0,08	0,		0,28	0,1103	0,48	0,1844	0,68	0,2517
0,09	0,		0,29	0,1141	0,49	0,1879	0,69	0,2549
1,00	0,		0,30	0,1179	0,50	0,1915	0,70	0,2580
0,11	0,		0,31	0,1217	0,51	0,1950	0,71	0,2611
0,12	0,		0,32	0,1255	0,52	0,1985	0,72	0,2642
0,13	0,		0,33	0,1293	0,53	0,2019	0,73	0,2673
0,14	0,		0,34	0,1331	0,54	0,2054	0,74	0,2703
0,15	0,		0,35	0,1368	0,55	0,2088	0,75	0,2734
0,16	0,		0,36	0,1406	0,56	0,2123	0,76	0,2764
0,17	0,		0,37	0,1443	0,57	0,2157	0,77	0,2794
0,18	0,		0,38	0,1480	0,58	0,2190	0,78	0,2823
0,19	0,		0,39	0,1517	0,59	0,2224	0,79	0,2852

Продолжение приложения 2

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,80	0,		1,03	0,3485	1,26	0,3962	1,49	0,4319
0,81	0,		1,04	0,3508	1,27	0,3980	1,50	0,4332
0,82	0,		1,05	0,3531	1,28	0,3887	1,51	0,4345
0,83	0,		1,06	0,3554	1,29	0,4015	1,52	0,4357
0,84	0,		1,07	0,3577	1,30	0,4032	1,53	0,4370
0,85	0,		1,08	0,3599	1,31	0,4049	1,54	0,4382
0,86	0,		1,09	0,3621	1,32	0, 4066	1,55	0,4394
0,87	0,		1,10	0,3643	0,33	0,4082	1,56	0,4406
0,88	0,		1,11	0,3665	0,34	0,4099	1,57	0,4418
0,89	0,		1,12	0,3686	0,35	0,4115	1,58	0,4429
0,90	0,		1,13	0,3708	0,36	0,4131	1,59	0,4441
0,91	0,		1,14	0,3729	0,37	0,4147	1,60	0,4452
0,92	0,		1,15	0,3749	0,38	0,4162	1,61	0,4463
0,93	0,		1,16	0,3770	0,39	0,4177	1,62	0,4474
0,94	0,		1,17	0,3790	1,40	0,4192	1,63	0, 4484
0,95	0,		1,18	0,3810	1,41	0,42007	1,64	0, 4495
0,96	0,		1,19	0,3830	1,42	0,4222	1,65	0, 4505
0,97	0,		1,20	0,3849	1,43	0,4236	1,66	0, 4515
0,98	0,		1,21	0,3869	1,44	0,4251	1,67	0, 4525
0,99	0,		1,22	0,3883	1,45	0,4265	1,68	0, 4535
1,00	0,		1,23	0,3907	1,46	0,4279	1,69	0, 4545
1,01	0,	0,3438	1,24	0,3925	1,47	0,4292	1,70	0, 4554
1,02	0,	0,3461	1,25	0,3944	1,48	0,4306	1,71	0, 4564

Продолжение приложения 2

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
1,72	0,		1,95	0,4744	2,36	0,4909	2,82	0,4976
1,73	0,		1,96	0,4750	2,38	0,4913	2,84	0,4977
1,74	0,		1,97	0,4756	2,40	0,4918	2,86	0,4979
1,75	0,		1,98	0,4761	2,42	0,4922	2,88	0,4980
1,76	0,		1,99	0,4767	2,44	0,4927	2,90	0,4981
1,77	0,		2,00	0,4772	2,46	0,4931	2,92	0,4982
1,78	0,		2,02	0,4783	2,48	0,4934	2,94	0,4984
1,79	0,		2,04	0,4793	2,50	0,4938	2,96	0,4985
1,80	0,		2,06	0,4803	2,52	0,4941	2,98	0,4986
1,81	0,		2,08	0, 4812	2,54	0,4945	3,00	0,49865
1,82	0,		2,10	0, 4821	2,56	0,4948	3,20	0,49931
1,83	0,		2,12	0, 4830	2,58	0,4951	3,40	0,49966
1,84	0,		2,14	0, 4838	2,60	0,4953	3,60	0,499841
1,85	0,		2,16	0, 4846	2,62	0,4956	3,80	0,499928
1,86	0,		2,18	0, 4854	2,64	0,4959	4,00	0,499968
1,87	0,		2,20	0, 4861	2,66	0,4961	4,50	0,499997
1,88	0,		2,22	0, 4868	2,68	0,4963	5,00	0,499997
1,89	0,		2,24	0,4875	2,70	0,4965
1,90	0,		2,26	0,4881	2,72	0,4967
1,91	0,		2,28	0,4887	2,74	0,4969
1,92			2,30	0,4893	2,76	0,4971
1,93			2,32	0,4898	2,78	0,4973
1,94			2,34	0,4904	2,80	0,4974